- Разложение матрицы
-
Разложе́ние ма́трицы — представление матрицы
в виде произведения матриц, обладающих некоторыми определёнными свойствами, например, ортогональностью, симметричностью, диагональностью — и потому облегчающих рассмотрение свойств линейного оператора с матрицей
.
Содержание
Классификация
- LU-разложение — представление матрицы
в виде
, где
— нижнетреугольная, а
— верхнетреугольная матрица. Не все матрицы могут быть представлены в таком виде.
- LUP-разложение — представление матрицы
в виде
, где
— перестановочная, а
и
— треугольные. Это обобщение LU-разложения на случай произвольных матриц.
- QR-разложение — представление матрицы
в виде
, где
— ортогональная (или, в общем случае, унитарная), а
— верхнетреугольная. Существуют также его варианты: RQ-, QL- и LQ-разложения.
- Разложение Холецкого — представление квадратной, положительно-определённой матрицы
в виде
, где
— верхнетреугольная.
- Спектральное разложение — представление квадратной матрицы
в виде
, где
— ортогональная матрица, столбцы которой — это собственные вектора матрицы
, а
— диагональная матрица с собственными значениями
на диагонали. Не все матрицы могут быть представлены в таком виде, а только те, которые обладают полным набором собственных векторов.
- Полярное разложение — представление произвольной матрицы в виде произведения ортогональной и симметричной положительно-полуопределённой матрицы.
- Сингулярное разложение — представление произвольной матрицы в виде произведения ортогональной, диагональной с сингулярными числами на диагонали, и ортогональной матриц.
Количественное рассмотрение
Полярное разложение
Полярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной и симметричной с неотрицательными собственными значениями матриц.
Так как
, то матрица
симметричная. Существует[2] базис, который можно обозначить через
, состоящий из ортонормированных векторов матрицы
, расположенных в порядке убывания собственных значений.
Так как
, то для любых векторов
и
базиса
выполняется
. Значит, образ базиса
относительно преобразования
ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования
векторы
базиса
преобразуются в векторы
.
Сингулярные числа матрицы
— квадратные корни
из собственных значений матрицы
.
Отсюда очевидно, что
. Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число
, что
.
Пусть
— система векторов
при
, дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть
— матрица перехода из базиса
в базис
. Так как оба базиса ортонормированные, то матрица
ортогональная. Так как
, то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы
. Это значит, что матрица
в базисе
имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.
Итак,
, где матрица
ортогональная, а матрица
симметричная.
Сингулярное разложение
Сингулярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной, диагональной с сингулярными числами на диагонали, и ортогональной матриц.
Имеется полярное разложение A=QS, где Q ортогональна и S симметрична. Можно обозначить через
матрицу перехода в базис, в котором симметричная матрица
имеет диагональный вид
; тогда
, и
; соответственно
; матрица
ортогональна как произведение ортогональных. Матрица
, действительно, имеет сингулярные числа данного преобразования на диагонали (см. доказательство полярного разложения); обозначая
,
, получаем
, где
и
ортогональны,
диагональна с сингулярными числами на диагонали.
Источники
- ↑ Беклемишев, Д. В. Глава VI. Линейные пространства // Курс аналитическое геометрии и линейной алгебры. — 10-е изд., испр.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 232-233. — 304 с. — ISBN 5-9221-0304-0
- ↑ собственные значения симметричной матрицы
Категория:- Разложения матриц
- LU-разложение — представление матрицы
Wikimedia Foundation. 2010.