Матрица ковариаций

Матрица ковариаций

Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов двух случайных векторов.

Определения

  • Пусть \mathbf{X}:\Omega \to \mathbb{R}^n\;,\mathbf{Y}:\Omega \to \mathbb{R}^m — два случайных вектора размерности n и m соответственно. Пусть также случайные величины X_i,Y_j,\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m имеют конечный второй момент, то есть X_i,Y_j \in L^2. Тогда матрицей ковариации векторов \mathbf{X},\mathbf{Y} называется
\Sigma = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathbb{E}\left[(\mathbf{X} - \mathbb{E}\mathbf{X})(\mathbf{Y} - \mathbb{E}\mathbf{Y})^{\top}\right],

то есть

Σ = (σij),

где

\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(X_i,Y_j) \equiv \mathbb{E}\left[(X_i - \mathbb{E}X_i) (Y_j - \mathbb{E}Y_j)\right],\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m.

Свойства матриц ковариации

  • Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:
\mathrm{cov}(\mathbf{X}) = \mathbb{E}\left[\mathbf{X} \mathbf{X}^{\top}\right] - \mathbb{E}[\mathbf{X}] \cdot \mathbb{E}\left[\mathbf{X}^{\top}\right].
\mathrm{cov}(\mathbf{X}) \ge 0.
  • Смена масштаба:
\mathrm{cov}\left(\mathbf{a}^{\top} \mathbf{X}\right) = \mathbf{a}^{\top} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{a},\; \forall \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n.
  • Матрица ковариации афинного преобразования:
\mathrm{cov}\left(\mathbf{A} \mathbf{X} + \mathbf{b}\right) = \mathbf{A} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{A}^{\top},

где \mathbf{A} — произвольная матрица размера n \times n, а \mathbf{b}\in \mathbb{R}^n.

  • Перестановка аргументов:
\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X})^{\top}
  • Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
\mathrm{cov}(\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2,\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{X}_1,\mathbf{Y}) + \mathrm{cov}(\mathbf{X}_2,\mathbf{Y}),
\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1 + \mathbf{Y}_2) = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1) + \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_2).
  • Матрица ковариации независимых векторов равна нулю. Если \mathbf{X} и \mathbf{Y} независимы, то
\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) =  \mathbf{0}.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Матрица ковариаций" в других словарях:

  • Матрица ковариаций (для — 1.33. Матрица ковариаций (для n мерной случайной величины; n ³ 2) где   дисперсия случайной величины Xi в одномерном маргинальном распределении (i = l, 2, ..., n),   ковариация случайной величины (Xi, Xj) в двумерном маргинальном распределении (i …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Матрица ковариации — Ковариационная матрица (или матрица ковариаций) в теории вероятностей  это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов двух случайных векторов. Определения Пусть   два случайных вектора размерности n и m соответственно. Пусть также… …   Википедия

  • ИНФОРМАЦИОННАЯ МАТРИЦА — информация по Фишер у, матрица ковариаций информанта. Для доминированного семейства распределений вероятностей Pt(dw)с плотностями р(w; t), достаточно гладко зависящими от векторного (в частности, числового) параметра элементы И. м. при t= q… …   Математическая энциклопедия

  • КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА — матрица, образованная из попарных ковариаций нескольких случайных величин; точнее, для k мерного случайного вектора X=(X1,. .., Xk )К. м. наз. квадратная матрица где вектор средних значений. Компоненты К. м. равны и при i=j совпадают с DXi (т. е …   Математическая энциклопедия

  • Ковариационная матрица — (или матрица ковариаций) в теории вероятностей  это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов. Ковариационная матрица случайного вектора  квадратная симметрическая матрица, на диагонали… …   Википедия

  • Вариационно-ковариационная матрица — (VARIANCE COVARIANCE MATRIX) симметричная таблица ковариаций между некоторым числом случайных переменных. Дисперсии случайных переменных представлены на диагонали матрицы, а ковариаций выше и ниже диагонали …   Финансовый глоссарий

  • КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА — матрица, образованная из попарных смешанных вторых моментов (ковариаций) неск. случайных величин (см. Моменты случайной величины). Ковариация между компонентами и случайного вектора определяется как где М математическое ожидание, а …   Физическая энциклопедия

  • СТРУКТУРНЫЕ УРАВНЕНИЯ — метод моделирования отношений между несколькими переменными зависимыми (далее ЗП) и независимыми (далее НП), измеренными и латентными, непрерывными и дискретными, оформившийся в 1970 х в работах статистиков (К. Йореског и Д. Сёрбом), социологов… …   Социология: Энциклопедия

  • Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… …   Энциклопедия инвестора

  • Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… …   Энциклопедия инвестора


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»