- Коцепной комплекс
-
Цепно́й компле́кс — основное понятие гомологической алгебры.
Содержание
Цепной комплекс
Цепной комплексом называется последовательность
модулей и гомоморфизмов
, называемых граничными операторами или дифференциалами,
такая что
. Элементы Kn называются n-мерными цепями, элементы ядра
— n-мерными циклами, элементы образа
— n-мерными границами. Из
следует, что
(т.н.полуточность). Если к тому же BnK = ZnK, то такой комплекс называется точным.
Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с мофизмами
, где
последовательность морфизмов
, такая что
коммутирует с дифференциалом, то есть
.
Коцепной комплекс
Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей
и гомоморфизмов
, таких что
- dn + 1dn = 0
Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.
Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.
Гомологии и когомологии
n-мерная группа гомологий Hn цепного комплекса
является его мерой точности в n-ом члене и определяется как
. Для точного комплекса Hn = 0
Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:
Гомоморфизмы цепных комплексов
Гомоморфизмом цепных комплексов
и
называется такое отображение
что следующая диаграмма оказывается коммутативной:
Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.
Цепная гомотопия
Цепная гомотопия
между гомоморфизмами комплексов f и g - это такой гомоморфизм цепных комплексов
и
степени +1 (т.е.
), для которого
Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид
Литература
- Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — М.: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
- Маклейн С. Гомология, — М.: Мир, 1966.
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — М.: Мир, 1976.
Wikimedia Foundation. 2010.