Цепная гомотопия

Цепна́я гомото́пия — вариация понятия «гомотопия» в алгебраической топологии и гомологической алгебры

Определение

Пусть $C$ — цепной комплекс модулей то есть семейство модулей $C_n$ и модульных гомоморфизмов $d_n\colon C_n\to C_{n-1}$; $f$ и $g$ — цепные отображения комплекса $C$ в комплекс $C'$ (то есть такие гомоморфизмы $f_n$ что $d_n f_n = f_{n-1}d_n$).

Цепной гомотопией между отображениями $f$ и $g$ называется такое семейство гомоморфизмов $s_n\colon C_n \to C_{n+1}$, что

$s_{n-1}d_n + d'_{n+1}s_n = f_n - g_n$

то есть следующая диаграмма коммутативна:

Свойства

• Если отображения $f$ и $g$ цепно гомотопны, то индуцированные отображения на гомологиях $H_n(C) \to H_n(C')$ равны (где $H_n(C) = \mathrm{Ker}\,d_n / \mathrm{Im}\,d_{n+1}$). В самом деле, пусть $c\in C_n$ — цикл, то есть элемент из $\mathrm{Ker}\,d_n$. Тогда $d_n(c)=0$. Так как $f$ и $g$ цепно гомотопны, то

  $f_n(c)-g_n(c) = s_{n-1}d_n(c) + d'_{n+1}s_n(c) = d'_{n+1}s_n(c)$,

то есть отличаются на границу (элемент $\mathrm{Im}\,d'_{n+1}$).

• Для большинства теорий гомологий доказывается, что гомотопные непрерывные отображения топологических пространств $f,g\colon X\to Y$ индуцируют цепно гомотопные отображения комплексов $C(X)\to C(Y)$ и, по доказанному, одинаковые отображения групп гомологий $H(X)\to H(Y)$ (выполняется аксиома гомотопической инвариантности).

Литература

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — М.: Наука, 1989
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971