Теория операторов

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение $T$ из векторного пространства $X$ в векторное пространство $Y$ называется линейным оператором если $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$ для любых $x$ и $y$ в $X$ и любых скаляров $\alpha$ и $\beta$. Часто пишут $Tx$ вместо $T(x)$. Линейный оператор из нормированного пространства $X$ в нормированное пространство $Y$ называется ограниченным если найдется положительное вещественное число $M$ такое что $\lVert Tx\rVert\leqslant M\lVert x\rVert$ для всех $x$ в $X$. Наименьшая константа $M$ удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора $T$ и обозначается $\lVert T\rVert$. Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства $X$ в нормированное пространство $Y$ обозначается $L(X,\;Y)$. В случае когда $X=Y$ пишут $L(X)$ вместо $L(X,\;X)$. Если $H$ — Гильбертово пространство, то обычно пишут $B(H)$ вместо $L(H)$. На $L(X,\;Y)$ можно ввести структуру векторного пространства через $(T+S)x=Tx+Sx$ и $(\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha(Tx)$, где $T,\;S\in L(X,\;Y)$, $x,\;y\in X$, а $\alpha$ — произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, $L(X,\;Y)$ превращается в нормированное пространство.

В частности, $\lVert S+T\rVert\leqslant\lVert S\rVert+\lVert T\rVert$ и $\lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert$ для любых $T,\;S\in L(X,\;Y)$ и произвольного скаляра $\alpha$. Пространство $L(X,\;Y)$ является Банаховым тогда и только тогда когда $Y$ — Банахово.

Пусть $X,\;Y$ и $Z$ — нормированные пространства, $S\in L(X,\;Y)$ и $T\in L(Y,\;Z)$. Композиция $S$ и $T$ обозначается $TS$ и называется «произведением» операторов $S$ и $T$. Заметим что $TS\in L(X,\;Z)$ и $\lVert TS\rVert\leqslant\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert$. Если $X$ — Банахово пространство, то $L(X)$ с введенным выше умножением является Банаховой алгеброй.

В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:

1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
2. Классы операторов. В частности, компактные операторы, Фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
   • На Гильбертовых пространствах изучают самосопряженные, нормальные, унитарные, положительные операторы и др.
   • На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом и др.
   • На Банаховых решетках: положительные операторы, регулярные операторы и др.
4. Совокупности операторов (то есть, подмножества $L(X)$): операторные алгебры, операторные полугруппы и др.
5. Теория инвариантных подпространств.