Гильбертово пространство

Сюда перенаправляется запрос «теорема Рисса — Фишера». На эту тему нужна отдельная статья.

Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Названо в честь Давида Гильберта.

Определение

Гильбертово пространство есть банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением.

Связанные определения

• Наименьшая из мощностей подмножеств гильбертова пространства $H$, для которых замыкание линейной оболочки совпадает с $H$, называется размерностью пространства $H$.

Свойства

• Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства $H$ среди прочих банаховых пространств, является тождество параллелограмма:

  $(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2).$

  • Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

    $(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2.$

  • Аналогично, если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

    $(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2+ i\left\|\dfrac{x+iy}{2}\right\|^2-i\left\|\dfrac{x-iy}{2}\right\|^2$ (поляризационное тождество).

• Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности,
  • любые два бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу и пространству $\ell^2$ (см. ниже).
• Теорема Рисса — Фреше: для любой ортонормированной системы векторов ${\lbrace \phi_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty}$ в гильбертовом пространстве $H$ и числовой последовательности ${\lbrace C_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty}$, такой что $\sum_{i = 1}^{\infty} C_i^2 < \infty$, в $H$ существует такой элемент $u$, что $C_i = \left( u, \phi_i \right)$ и ${\left\Vert u \right\Vert}^2 = \sum_{i = 1}^{\infty} {\left( u, \phi_i \right)}^2$.
• Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве (теорема Рисса — Фреше): для любого линейного ограниченного функционала $f$ на гильбертовом пространстве $H$ существует единственный вектор $y \in H$ такой, что $f(x)=(x,y)$ для любого $x \in H$. При этом норма линейного функционала $f$ совпадает с нормой вектора $y$:

  $\|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{(y,y)}$. Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над $H$ изоморофно пространству $H$.

• Гильбертовы пространства порождают строго нормированные пространства.

Примеры

• Евклидово пространство.
• Пространство $\ell^2$. Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел $x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, для которых сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2$. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

  $(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n$.

• Пространство $L^2[a,b]$ измеримых функций с вещественными значениями на отрезке $[a,b]$ с интегрируемыми по Лебегу квадратами — т. е. таких, что интеграл

  $\int\limits_a^b\!|f|^2\,dx$

определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве мере нуль — отождествляются между собой (то есть, формально, $L^2[a,b]$ есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

$(f, g) = \int\limits_a^b\!f{g}\,dx$.

Для пространств $\ell^2$ и $L^2[a,b]$ над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

$(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y}_n$;

$(f, g) = \int\limits_a^b\!f\overline{g}\,dx$.

См. также

• Теорема представлений Рисса
• Равенство Парсеваля
• Предгильбертово пространство

Литература

• Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, Перевод с английского И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Издательство «Мир», 1970. — 352 с.
• Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.

Ссылки