Линейно связное пространство

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Определения

• Рассмотрим отрезок числовой прямой $[0,1]\subset \mathbb{R}$ с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T}).$ Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек $x,y\in X$ найдётся непрерывное отображение $f:[0,1] \to X$ такое, что

  $f(0) = x,\; f(1) = y.$

• Пусть дано подмножество $M \subset X$. Тогда на нём естественным образом определяется топология $\mathcal{T}_M$, индуцированная $\mathcal{T}$. Если пространство $\left(M,\;\mathcal{T}_M\right)$ линейно связно, то подмножество $M$ также называется линейно связным в $X$.

Связанные определения

• Каждое линейно связное подмножество пространства $X$ содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства $X$.
  • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно не связным.
• Если существует база топологии пространства $X$, состоящая из линйно связных открытых множеств, тогда топология пространства $X$ и само пространство $X$ (в этой топологии) называются локально линйно связными.

Примеры

• Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно не связного пространства.

Свойства

• Всякое линейно связное пространство связно.

• Обратное неверно; например замыкание графика функции $\sin\tfrac1x$ связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок $[-1,1]$ на оси ординат).
• Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда когда оно связно.

• Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
• Если пространство $X$ линейно связно и $x,\;y\in X$, то гомотопические группы $\pi_1(X,\;x)$ и $\pi_1(X,\;y)$ изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма $\pi_1(X,\;x)$.

Линейная связность на числовой прямой

Будем считать, что $X = \R$, а $\mathcal{T}$ — стандартная топология числовой прямой. Тогда

• Подмножество $M \subset \mathbb{R}$ линейно связно тогда и только тогда, когда

  $\forall x,\;y\in M : (x \leqslant y ) \Rightarrow \bigl([x,\;y] \subset M \bigr),$

то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.

• Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным, открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:

  $(a\;,b),\; [a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty,\;b),\;(-\infty,\;b],\;(a,\;+\infty),\;[a,\;+\infty).$

• Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение

Многомерным обобщением линейной связности является $k$-связность (связность в размерности $k$). Пространство $X$ называется связным в размерности $k$, если любое отображение $r$-мерной сферы $S^r$ в $X$, где $r\leqslant k$, гомотопно постоянному отображению.

В частности, линейно связное пространство это 0-связное пространство, то есть любое отображение двоеточия (то есть нульмерной сферы) гомотопно постоянному отображению.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.