Структура Ходжа

Структура Ходжа веса $n$, или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки $H_\Z$ в действительном векторном пространстве $H_\R=H_\Z\otimes\R$ и разложения $H_\C=\bigoplus_n H^{p,\;q}$, где $n=p+q$, комплексного векторного пространства $H_\C=H_\Z\otimes\C$, которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие $\bar H^{p,\;q}=H^{q,\;p}$, где $\bar H^{p,\;q}$ — комплексное сопряжённое в $H_\C=H_\R\bigotimes_\R\C$.

Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, $F^r=\bigoplus_{p\geqslant r}H^{p,\;q}$ в $H_\C$ такой, что $\bar F^s\cap F^r=0$ при $r+s\neq n$. Тогда подпространства $H^{p,\;q}$ восстанавливаются по формуле $H^{p,\;q}=\bar F^p\cap F^q$.

Данную структуру в пространстве $n$-мерных когомологий $H^n(X,\;\C)$ компактного кэлерова многообразия $X$ впервые изучил У. Ходж^[1].

В этом случае подпространства $H^{p,\;q}$ описываются как пространства гармонических форм типа $(p,\;q)$ или как когомологии $H^q(X,\;\Omega^p)$ пучков $\Omega^p$ голоморфных дифференциальных форм^[2].

Фильтрация Ходжа в $H^n(X,\;\C)$ возникает из фильтрации комплекса пучков $\Omega=\sum_{p\geqslant 0}\Omega^p$, $n$-мерные гиперкогомологии которого изоморфны $H^n(X,\;\C)$, подкомплексами вида $\sum_{r\geqslant p}\Omega^r$.

Смешанная структура Ходжа

Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки $H_\Z$ в $H_\R=H_\Z\otimes\R$, возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, $W_n$ в $H_\Q=H_\Z\otimes\Q$ и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) $F^p$ в $H_\C=H_\Z\otimes\C$ таких, что на пространстве $(W_n/W_{n+1})\otimes\C$ фильтрации $F^p$ и $\bar F^p$ определяют чистую структуру Ходжа веса $n$.

П. Делинь (англ.) (P. Deligne) в своей работе^[3] рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.

Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображений^[4].

Примечания

1. ↑ Hodge W. V. D. Tho theorie and applications of harmonic integrals. — 2 ed. — Cambridge, 1952.
2. ↑ Гриффитс, Ф., Харрис, Дж. Принципы алгебраической геометрии / Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — Т. 1. — 518 с.
3. ↑ Deligne P. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, 1974). — 1975. — v. 1. — p. 70—85.
4. ↑ Варченко А. Н. Современные проблемы математики. — т. 22. — М., 1983. — с. 66—130. — (Итоги науки и техники).

Для улучшения этой статьи желательно?: Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.