Линейное отображение

У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения).

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции $y=kx$) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Формальное определение

Лине́йным отображе́нием векторного пространства $L_K$ над полем $K$ в векторное пространство $M_K$ (лине́йным опера́тором из $L_K$ в $M_K$) над тем же полем $K$ называется отображение

$f\colon L_K\to M_K$,

удовлетворяющее условию линейности

$f(x + y) = f(x) + f(y)$,

$f(\alpha x) = \alpha f(x)$.

для всех $x,y\in L_K$ и $\alpha\in K$.

Пространство линейных отображений

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля $K$ как

• $(f + g)(x) = f(x) + g(x)\quad \forall x\in L_K$
• $(kf)(x) = kf(x)\quad \forall x\in L_K, \forall k\in K$

множество всех линейных отображений из $L_K$ в $M_K$ превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как $\mathcal{L}(L_K, M_K)$

Ограниченные линейные операторы. Норма оператора

Если векторные пространства $L_K$ и $M_K$ являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что $\forall x \in L_K, \|Ax\|_{M_K}\leqslant N\|x\|_{L_K}$. Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:

$\|A\|=\sup_{\|x\|\not =0} \frac {\|Ax\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\| =1} {\|Ax\|}.$

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство $M_K$ - банахово, то и пространство линейных операторов тоже банахово.

Обратный оператор

Оператор $A^{-1}$, обратный линейному оператору $A$, также является линейным оператором. Если $A$- линейный непрерывный оператор, отображающий одно банахово пространство (или F-пространство) в другое, то и обратный оператор тоже является линейным непрерывным оператором.

Матрица линейного оператора

Пусть линейный оператор $A$ действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе {$e_n$} как $x=\sum_{k} \alpha_k e_k$, причем из ортнонормированности базиса следует, что $\alpha_k=(x,e_k)$. Тогда вектор $y=Ax$ можно разложить в том же базисе с коэффициентами $\beta_k=(Ax,e_k)=\sum_{i} (Ae_i,e_k)\alpha_i=\sum_{i} a_{ij} \alpha_i$, где $a_{ij}=(Ae_i,e_k)$. Таким образом, в координатном представлении $\beta=A \alpha$, где $\alpha$ - координатное представление вектора $x$, а $\beta$-координатное представление вектора $y$, соответственно $A=$ {$a_{ij}$}-матрица оператора в данном базисе.

Таким образом, каждому линейному оператору гильбертова пространства соответствует некоторая матрица в данном базисе.

Важные частные случаи

• Линейный функционал — линейный оператор, для которого $M = K$:
      $f\colon L_K\to K$
• Эндоморфизм — линейный оператор, для которого $L = M$:
      $f\colon L_K\to L_K$
• Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор $x \mapsto x$, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
• Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент $L_K$ в нулевой элемент $M_K$.
• Проектор — оператор сопоставляющий каждому $x$ его проекцию на подпространство.
• Сопряжённый оператор к оператору $A \in L(V)$ — оператор $A^*$ на $V^*$, заданный соотношением $(A^*f,x) := (f,Ax)$.
• Самосопряжённый оператор — оператор, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
• Эрмитов (или симметрический) оператор — такой оператор $A$, что $(Ax,y)=(x,Ay)$ для всех пар $x,y$ из области определения $A$. Для всюду определённых операторов совпадает с самосопряжённым.
• Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение $(Ax,Ay)=(x,y)$, в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора $\|Ax\|=\sqrt{(Ax,Ax)}=\sqrt{(x,x)}=\|x\|$; оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором $A^{-1}=A^*$; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным;
• Положительно определённый оператор. Пусть $L_K,\ M_K$ — гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительным, если $\forall x\in X, (Ax, x)>0$.

Связанные понятия

• Образом подмножества^[1] $M\subset L_K$ относительно линейного отображения A называется множество $AM=\{Ax: x\in M\}$.
• Ядром линейного отображения $f\colon A\to B$ называется подмножество $A$, которое отображается в нуль:

  $\mbox{Ker}\,f = \{ x\in A\mid f(x) = 0 \}$

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве $A$.

• Образом линейного отображения $f$ называется следующее подмножество $B$:

  $\mbox{Im}\,f = \{ f(x)\in B\mid x \in A \}$

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве $B$.

• Отображение $f\colon A\times B \to C$ прямого произведения линейных пространств $A$ и $B$ в линейное пространство $C$ называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств $f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B$ называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.

• Оператор $\tilde L$ называется линейным неоднородным (или афинным), если он имеет вид

  $\tilde L = L + v$

где $L$ — линейный оператор, а $v$ — вектор.

• Пусть $A:L_K\to L_K$. Подпространство $M\subset L_K$ называется инвариантным относительно линейного отображения, если $\forall x\in M, Ax\in M$^[2].

Критерий инвариантности. Пусть $M\subset X$ — подпространство,такое что $X$ разлагается в прямую сумму: $X=M\oplus N$. Тогда $M$ инвариантно относительно линейного отображения $A$ тогда и только тогда, когда $P_MAP_M=AP_M$, где $P_M$ - проектор на подпространство $M$.

• Фактор-операторы^[3]. Пусть $A:L_K\to L_K$ — линейный оператор и пусть $M$ — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем фактор-пространство $L_K/\,\overset{M}{\sim}$ по подпространству $M$. Тогда фактор-оператором называется оператор $A^+$ действующий на $L_K/\,\overset{M}{\sim}$ по правилу: $\forall x^+\in L_K/\,\overset{M}{\sim}, A^+ x^+=[Ax]$, где $[Ax]$ — класс из фактор-пространства, содержащий $Ax$.

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

• оператор дифференцирования: $L\{x(\cdot)\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt}$;
• оператор интегрирования: $y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau$;
• оператор умножения на определённую функцию $\varphi(t)\colon y(t)=\varphi(t)x(t)$;
• оператор интегрирования с заданным «весом» $\varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau){\varphi}(\tau)\,d\tau$
• оператор взятия значения функции $f$ в конкретной точке $x_0$: $L\{f\}=f(x_0)$^[4];
• оператор умножения вектора на матрицу: $b=Ax$;
• оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

• Любое аффинное преобразование;
• $y(t)=\frac{dx(t)}{dt}+\varphi(t)$;
• $y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau+\varphi(t)$;
• $y(t)=\varphi_1(t)x(t)+\varphi_2(t)$;

где $\varphi(t)$, $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ — вполне определённые функции, а $x(t)$ — преобразуемая оператором функция.

Примечания

1. ↑ M не обязано быть подпространством.
2. ↑ Или: $AM\subset M$.
3. ↑ Также употребляется написание фактороператоры.
4. ↑ Иногда обозначается как $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(x){\delta}(x-x_0)\,dx$

См. также

• Линейный непрерывный оператор
• Вполне непрерывный оператор
• Интегральный оператор Фредгольма
• Сопряжённый оператор
• Спектр оператора
• Оператор (математика)
• Выпуклый функционал