F-пространство

В математике, линейное метрическое пространство $V$ называют F-пространством (пространством типа F), если выполнены следующие условия:

1. Умножение на скаляр в $V$ как отображение $(\alpha,x)\to\alpha x$, где $x\in V$, а $\alpha\in\mathbb R$ или $\alpha\in\mathbb C$, непрерывно по метрике $V$ при фиксированном $\alpha$ и стандартной метрике $\mathbb R$ или $\mathbb C$ при фиксированном $x$
2. Метрика $V$ инвариантна относительно сдвигов, то есть $\rho(x,y)=\rho(x-y,0)$.
3. Метрическое пространство $(V,\rho)$ является полным.

Некоторые авторы называют эти пространства пространствами Фреше, но обычно под пространствами Фреше понимаются локально выпуклые F-пространства.

Справедлива теорема: всякое F-пространство является топологическим векторным пространством.^[1]

Примеры

• Все Банаховы пространства и пространства Фреше относятся к F-пространствам.
  • В частности, пространства Lp при $0<p\le\infty$ являются F-пространствами.

Литература

1. ↑ Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1.Общая теория. — С. 64-65.