- Эрмитов оператор
-
В математике оператор
в комплексном или действительном гильбертовом пространстве
называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству
для всех
из области определения
. Здесь и далее полагается, что
— скалярное произведение в
. Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.
Оператор в
называется самосопряжённым, или гипермаксимальным эрмитовым, если он совпадает со своим сопряжённым.
Самосопряжённый оператор является симметрическим; обратное, вообще говоря, не верно. Для непрерывных операторов, определённых на всём пространстве, понятия симметрический и самосопряжённый совпадают.
Содержание
Свойства
1. Спектр (множество собственных чисел) самосопряжённого оператора является вещественным.
ДоказательствоДля всякого собственного значения
по определению верно
. Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:
и
,
откуда
— число
вещественное.
2. В конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой.
ДоказательствоВ унитарном пространстве скалярное произведение определяется как
, где
и
- координатные столбцы векторов
и
соответственно. Отсюда по определению самосопряжённого оператора равны выражения
иСледовательно,
, что и есть определение эрмитовой матрицы.
3. У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из собственных векторов — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.Доказательство- Лемма 1. Собственные подпространства самосопряжённого преобразования попарно ортогональны.
-
- Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения
и
. Соответственно для векторов
и
из соответствующих им собственных подпространств выполняется
и
. Отсюда
равно
. Но собственные значения самосопряжённого преобразования вещественны, можно из последнего выражения вынести
. Таким образом, по определению самосопряжённого преобразования можно получить
, откуда при различности собственных значений
ясно, что
, что и требовалось доказать.
- Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения
- Лемма 2. Если подпространство
инвариантно относительно самосопряжённого преобразования
, то ортогональное дополнение этого подпространства также инвариантно относительно
.
-
- Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора
, принадлежащего подпространству
, лежит в нём. Следовательно, для любого вектора
выполняется
. Так как преобразование
самосопряжённое, то отсюда следует, что
, то есть образ любого вектора
из
принадлежит
, что и означает, что подпространство
инвариантно относительно преобразования A, что и требовалось доказать.
- Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора
- Доказательство свойства 3:
- Для оператора R в n-мерном пространстве существует по крайней мере одно собственное значение
. По свойству 1 это собственное значение вещественно. Можно найти отвечающий ему собственный вектор е1. Без ограничения общности можно считать, что
. Если п=1, то доказательство завершено.
- Рассмотрим Е1 - линейную оболочку элемента е1, являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством R. Пусть Еn-1 - ортогональное дополнение к Е . Тогда по лемме 2 Еn-1 инвариантно относительно рассматриваемого оператора. Рассмотрим его теперь как R', как действующий только в Еn-1 . Тогда очевидно, что он будет самосопряженным оператором, заданным в Еn-1 , поскольку Еn-1 инвариантно относительно R по лемме 2 и, кроме того, для
х,у
Еn : (Rx,y) = (x,Ry), в том числе и для
х,у
Еn-1.
- Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение
и соответствующий ему собственный вектор
. Без ограничения общности можно считать, что
. При этом
может случайно совпасть с
, однако, из построения ясно, что
. Если п=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим Е - линейную оболочку
и ее ортогональное дополнение Еn-2. Найдём новое собственное значение
и соответствующий ему собственный вектор
и т.д.
- Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания Еn .
- Доказательство завершено.
Матрицы
Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу
получаемую из исходной матрицы
путем её транспонирования и перехода к комплексно сопряжённой, то есть
Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой:
Применение
Эрмитовы операторы играют важную роль в квантовой механике, где с их помощью представляют наблюдаемые физические величины, см. Принцип неопределённости Гейзенберга.
См. также
Категория:- Линейная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.