Сопряжённый оператор

Общее линейное пространство

Пусть $E, \, L$ — линейные пространства, а $E^*, \, L^*$ — сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов, определенных на $E, \, L$). Тогда для любого линейного оператора $A: E \to L$ и любого линейного функционала $g \in L^*$ определён линейный функционал $f \in E^*$ — суперпозиция $g$ и $A$: $f(x)=g(A(x))$. Отображение $g\mapsto f$ называется сопряженным линейным оператором и обозначается $A^*:L^* \to E^*$.

Если кратко, то $(A^*g, x) = (g, Ax)$, где $(B, x)$ — действие функционала $B$ на вектор $x$.

Топологическое линейное пространство

Пусть $E, \, L$ — топологические линейные пространства, а $E^*, \, L^*$ — сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определенных на $E, \, L$). Для любого непрерывного линейного оператора $A: E \to L$ и любого непрерывного линейного функционала $g \in L^*$ определён непрерывный линейный функционал $f \in E^*$ — суперпозиция $g$ и $A$: $f(x)=g(A(x))$. Нетрудно проверить, что отображение $g\mapsto f$ линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также $A^*:L^* \to E^*$.

Банахово пространство

Пусть $A:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства $X$ в банахово пространство $Y$^[1] и пусть $X^*, Y^*$ — сопряжённые пространства. Обозначим $\forall x\in X, f\in Y^* [Ax,f]=f(Ax)$. Если $f$ — фиксировано, то $[Ax,f]$ — линейный непрерывный функционал в $X, [Ax,f]\in X^*$. Таким образом, для $\forall f\in Y^*$ определён линейный непрерывный функционал из $X^*$, поэтому определён оператор $A^*:Y^*\to X^*$, такой что $[Ax,f]=[x,A^*f]$.

$A^*$ называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определен не на всём пространстве.

Для $A^*$ справедливы следующие свойства:

• Оператор $A^*$ — линейный.
• Если $A$ — линейный непрерывный оператор, то $A^*$ также линейный непрерывный оператор.
• Пусть $O$ — нулевой оператор, а $E$ — единичный оператор. Тогда $O^*=O, E^*=E$.
• $(A+B)^*=A^*+B^*$.
• $\forall\alpha\in\mathbb C, (\alpha A)^*=\bar{\alpha}A^*$.
• $(AB)^*=B^*A^*$.
• $(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$.

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве $H$ теорема Рисса дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора $A: H \to H$ равенство $(Ax, y) = (x, A^*y)$ определяет сопряженный оператор $A^*: H \to H$. Здесь $(x, y)$ — скалярное произведение в пространстве $H$.

См. также

• Эрмитов оператор

Примечания

1. ↑ Пространства $X,Y$ предполагаются комплексными

Литература

• Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
• Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.