- Проектор (математика)
-
В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор
, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проекти́рования и проекцио́нным опера́тором) если
. Иногда проекционный оператор называют идемпотентным.
Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.
В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор
является проектором, если и только если существуют такие подпространства
и
пространства
, что
раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любого элемента
имеем
, а для любого элемента
имеем
. Подпространство
называется образом, а
— ядром проектора
.
В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства
пространства
, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с
.
Содержание
Свойства проекционных операторов
- Пусть
— тождественный оператор. Если
- проектор, то
- тоже проектор, причём
и
.
- В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
- Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств:
.
- Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.
Комбинации проекторов
Пусть
и
проекторы заданные на пространстве
и проектирующие на подпространства
и
соответственно. Тогда
— проектор на подпространстве
, в том и только том случае, когда
.
является проектором тогда и только тогда, когда
.
проектирует на подпространство
.
- Если
, то
— проектор на подпространство
.
Примеры
- Ортогональная проекция (смотрите ниже) точек (x, y, z) пространства
на плоскость Oxy задаётся матрицей
Действует на точки она следующим образом:
- Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:
Легко показать, что это действительно проектор:
Проекция, задаваемая P, ортогональна, если и только если.
Ортогональный проектор
Если пространство
— гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогональный проектор.
Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства U и V ортогональны друг другу, иными словами, когда
, или
, или
. В этом случае проекция элемента
является ближайшим к нему элементом пространства U.
Литература
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
Категории:- Линейная алгебра
- Функциональный анализ
- Пусть
Wikimedia Foundation. 2010.