Теорема представлений Рисса

Теорема Рисса (также теорема Рисса — Фреше) в функциональном анализе утверждает, что каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь Фридьеса Рисса^[1].

Пусть существует:

• Гильбертово пространство $H$
• Линейный ограниченный функционал $f \in H'$ в пространстве $H$

Тогда существует единственный элемент $y$ пространства $H$, такой, что для произвольного $x \in H$ выполняется $f(x)=\langle y,x\rangle$.

Также выполняется равенство

$\|y\|=\|f\|$

Доказательство

$\ker(f)$ ядро линейного функционала является векторным подпространством $H$.

Существование $y$

Если $f\equiv 0$, достаточно взять $y=0$. Если же $f\ne 0$, тогда $\ker(f)\ne H$. Соответственно можно найти элемент $b \in \ker(f)^\bot \smallsetminus \big\{0\big\}$,

$\forall x \in H$, обозначим $p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b$.

Поскольку $p_x \in \ker(f)$ (очевидно), по определению b имеем $\langle b,p_x\rangle = 0$. Из линейности скалярного произведения получаем:

$\left\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \right\rangle = 0 = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2$

Отсюда $f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}$.

Наконец

$f(x) = \langle y, x \rangle$

где $y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b$.

Единственность $y$

Предположим, что $y$ и $z$ элементы H удовлетворяют $f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle$.

Это означает, что для всех $x \in H$ справедливо равенство $\langle y-z, x \rangle = 0$, в частности $\langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0$, откуда и получается равенство $y = z$.

Альтернативно, в случае невырожденной линейной формы из равенств $\dim\ker f + \dim\mathrm{Im}\,f = \dim H$, $\dim\ker f + \dim\ker(f)^\bot = \dim H$ и $\dim\mathrm{Im}\,f = 1$ следует $\dim\ker(f)^\bot = 1$, т.е. вектор $y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b = |f(b)| e_b$, где $e_b$ - единичный вектор одномерного линейного пространства в положительном направлении формы $f$, определен однозначно.

Равенство норм

Для доказательства $\|y\|=\|f\|$ сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: $f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|$. Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: $\|f\|\leq\|y\|.$ Кроме того, $\langle y, y \rangle = f(y) \leq \|y\|\|f\|$, откуда $\|y\|\leq\|f\|$. Объединяя два неравенства, получаем $\|y\|=\|f\|$.

Примечания

1. ↑ венг. Frigyes Riesz, в русскоязычных источниках его фамилия пишется как «Рис» или «Рисс», а имя иногда транскрибируют на английский манер как «Фриджес»

См. также

• Теорема Лакса-Мильграма