Теорема Лакса

Пусть:

• $\mathcal{H}$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением $\langle.,.\rangle,$ и ассоциированной нормой $\|.\|$
• $a(.\, ,\,.)$ является билинейной формой, которая:
  • непрерывна в $\mathcal{H}\times\mathcal{H} : \exists\,c>0, \forall (u,v)\in \mathcal{H}^2\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$
  • коэрцитивна в $\mathcal{H}$ (иногда используется термин $\mathcal{H}$-эллиптичность): $\exists\,\alpha>0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2$
• L является непрерывной линейной формой в $\mathcal{H}$.

Тогда существует единственный элемент $u \in \mathcal{H}$, такой, что равенство $a(u,v) = Lv$ выполняется для всех $v \in \mathcal{H}$:

$\quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\ \forall v\in\mathcal{H},\quad a(u,v)=Lv$

Данное утверждение называется теоремой Лакса — Мильграма. Она имеет широкое применение в числовом анализе, в частности при теоретическом обосновании метода конечных элементов.

См. также

• Гильбертово пространство
• Теорема представлений Рисса