ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ МЕТОД

- метод в геометрич. теории функций комплексного переменного, использующий для решения экстремальных задач в классах функций представление этих классов с помощью интегралов, зависящих от параметров.

К таким классам относятся Каратеодори класс, класс однолистных звездообразных в круге функций, класс типично вещественных функций. Функции этих классов имеют параметрич. представление, содержащее интеграл Стилтьеса

с заданными действительными числами а, bи функцией g(z, t).(ядро класса), , где М _а,b - класс функций, не убывающих на промежутке [ а, b],jm(b)-m(а)=l (m - параметр класса).

Для классов функций, имеющих параметрич. представление с помощью интегралов Стилтьеса, получены вариационные формулы, к-рые при решении экстремальных задач в этих классах показывают, что экстремальная функция имеет вид

где , причем указывается значение т(см. [1] гл. 11; [3]).

При нахождении областей значений функционалов и систем функционалов на таких классах иногда полезны следующие теоремы.

1) Множество Вточек x=(x₁, x₂, . . ., x_n) n-мерного евклидова пространства , допускающих представление

где u_k(t) - фиксированные непрерывные на [ а, b]действительные функции и , совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой R(U).множества Uточек

(теорема Рисcа).

2) Каждая точка может быть представлена в виде

где l_j>0, j=1, 2, ..., m, , а если , то (теорема Каратеодори).

3) Для того чтобы существовала, по крайней мере, одна неубывающая функция , такая, что

где

- заданные действительные непрерывные на [ а, b]функции, , - заданные комплексные числа, необходимо и достаточно, чтобы всякий раз, когда при нек-рых комплексных числах выполняется неравенство

имело место также и неравенство

(теорема Рисса).

Приведенные теоремы позволили дать геометрич. и алгебраич. характеристики областей значений систем коэффициентов и отдельных коэффициентов на классах функций, регулярных и имеющих положительную действительную часть в круге (кольце), регулярных и типично вещественных в круге (кольце) и на нек-рых других классах (см. [1] Добавление; [4], [5]).

Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Крейн М. Г., "Успехи матем. наук", 1951, т. 6, в. 4, с. 3-120; [3] Лебедев Н. А., Александров И. А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1968, т. 94, с. 79-89; [4] Голузина Е. Г., там же, с. 33-46; [5] ее же, "Зап. науч. семинаров Ленингр. отделения Матем. ин-та АН СССР", 1972, т. 24, с. 29-62; 1974, т. 44, с. 17-40; 1980, т. 100, с. 17-25. Е. Г. Голузина.