Кольцо периодов

В математике кольцом периодов называется множество чисел, которые могут быть выражены как объём области в $\R^n,$ заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами. Комплексное число называется периодом, если и действительная, и мнимая его части являются периодами. Сумма, разность и произведение двух периодов также являются периодами, поэтому множество всех периодов образует кольцо. Кольцо периодов включает в себя все алгебраические числа и многие известные трансцендентные числа, например π, ln 2, ζ(3) и Γ(1/3). Постоянная Хайтина Ω является примером числа, не являющегося периодом.

Свойства

• Любой период является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
• Множество периодов (равно как и множество всех чисел, не являющихся периодами) плотно в $\R$ и в $\C.$
• Кольцо периодов является счётным множеством, а его дополнение до $\R$ или до $\C$ — несчётным.
• Порядок на множестве действительных периодов изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

Открытые проблемы

• Неизвестно, является ли кольцо периодов полем.
• Неизвестно, являются ли числа e, 1/π или γ периодами.
• Неизвестно ни одного естественного примера (т.е. не сконструированного специально для этой цели) вычислимого числа, не являющегося периодом.
• Неизвестен алгоритм, который может определить, равны ли два периода, заданные своими системами неравенств. Также неизвестно, является ли эта задача вообще алгоритмически разрешимой.

Ссылки

• PlanetMath: Period (англ.)
• M. Kontsevich, D. Zagier, Periods (англ.)