Гамма-функция

У этого термина существуют и другие значения, см. Гамма.

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается $\Gamma(z)$.

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Определения

График гамма-функции действительного переменного

Интегральное определение

Если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

$~\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty}\!t^{\,{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\colon \mathrm{Re}(z)>0$

На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество

$~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).$

Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.

Определение по Гауссу

Оно верно для всех комплексных $z$, за исключением 0 и отрицательных целых чисел

$\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.$

Определение по Эйлеру

$\Gamma(z)=\frac{1}{z}\left(\prod\limits_{n=1}^\infty {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^z{\left(1+\frac{z}{n}\right)}^{-1}\right)= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.$

Определение по Вейерштрассу

$\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.$

где $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Замечания

• Интеграл выше сходится абсолютно, если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна.
• Применяя интегрирование по частям, можно показать, что тождество

  $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

выполняется для подынтегрального выражения.

• А поскольку $\Gamma(1)=1$, для всех натуральных чисел $n$

$\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\ldots=n!\cdot\Gamma(1)=n!$

• $\Gamma(z)$ является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей полюса в точках $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$

Связанные определения

• Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:

  $\Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$.

• В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:

  $\Gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}$.

Свойства

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.

• формула дополнения

  $\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}$.

• Наиболее известные значения гамма-функции от нецелого аргумента это

  $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.$

  $\Gamma(\tfrac14)=\sqrt\frac{(2 \pi)^{3/2}}{AGM(\sqrt 2, 1)}.$

  $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

  $\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right]$

  $\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right]$

• Гамма-функция имеет полюс в $z=-n$ для любого натурального $n$ и нуля; вычет в этой точке задается так

  $\operatorname{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}$.

• Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных $z$, не являющихся неположительными целыми:

  $\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{k}\right)^{-1} e^{z/k}$,

где $\gamma$ — это константа Эйлера.

• формула, полученная Гауссом:

  $\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\ldots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz)$.

• Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

  $\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})$.

• Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)$, где $\psi(x)$ часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией.
• Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

  $\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• K-функция
• G-функция Барнса
• Бета-функция

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.