Двойные числа

О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа

Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа — гиперкомплексные числа вида «$a + j * b$», где $a$ и $b$ — вещественные числа и $j^2 = 1$.

Определение

Алгебраическое определение

Любое двойное число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел $(x, y)$. Сложение и умножение определяются по правилам:

$(x,y) + (x',y') = (x + x',y + y')$

$(x,y) * (x',y') = (x x' + y y',x y' + y x')$

Числа вида $(a,0)$ отождествляются с вещественными числами, а $j = (0,1)$. Тогда соответствующие тождества принимают вид:

$(x + j y) + (x' + j y') = (x + x') + j(y + y')$

$(x + j y) * (x' + j y') = (x x' + y y') + j(x y' + y x')$

Матричное представление

Двойные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению двойных чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

$j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$x + j y = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$

Арифметические операции

• Сложение

  $(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j$

• Вычитание

  $(a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j$

• Умножение

  $(a+bj)*(c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j$

• Деление на число, не являющееся делителем нуля

  $\frac{a+bj}{c+dj} = \frac{ac-bd}{c^2-d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-d^2} j$

Свойства

$\mathrm{e}^{j x} = \operatorname{ch} x + j \operatorname{sh} x,$ где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

$\sin j x = j \sin x$

$\cos j x = \cos x$

Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. В отличие от поля комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля и все последние имеют вид «$a * (1\pm j)$».

Если взять $\alpha=(1+j)/2$ и $\beta=(1-j)/2,$ то

$\alpha \beta=0,$ $\alpha^2=\alpha$ и $\beta^2=\beta.$

Любое двойное число может быть представлено как сумма $\alpha x + \beta y,$ где $x$ и $y$ — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно. Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Ссылки