Простой идеал

В коммутативном кольце $A$ идеал $I$ называется простым, если факторкольцо по нему $A / I$ является областью целостности. Равносильная формулировка: если $I \neq A$ и из $ab\in I$ следует $a\in I$ или $b\in I$.

Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца $A$ по простому идеалу $I$.

Множество всех простых идеалов кольца $A$ образует спектр кольца $\mathrm{Spec} A$. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Свойства

• Максимальный идеал $I$ кольца $A$ (т.е. собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.

Доказательство  

Действительно, пусть $ab\in I$, $a \notin I$. Рассмотрим идеал $J=I+aA$. Поскольку $I$ максимален, то либо $J=I$ (что невозможно, поскольку $a \notin I$), либо $J=A$. Но тогда $1 \in I+aA$ и значит $b \in bI+baA=I$.

• Идеал $I$ прост, если элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
• Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце $A$ с единицей задан идеал $I$, не пересекающийся с мультипликативной системой $S_0$. Тогда существует простой идеал $I_0$, содержащий $I$ и не пересекающийся с системой $S_0$.

Доказательство  

Доказательство использует один из вариантов трансфинитной индукции — лемму Цорна. Множество всех идеалов кольца $A$, содержащих $I$ и не пересекающихся с системой $S_0$, непусто (оно включает идеал $I$), и отношение теоретико-множественного включения задаёт на нём индуктивный порядок. По лемме Цорна это множество содержит максимальный элемент — максимальный идеал $I_0$.

• Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал $I$, совпадает с радикалом идеала $I$. Радикал идеала $I$ — это множество $\sqrt{I}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in I\}$. Оно тоже является идеалом кольца $A$.

Доказательство  

Пусть $J$ — простой идеал, содержащий $I$. Если элемент $f$ принадлежит радикалу $\sqrt{I}$, значит некоторая его степень принадлежит идеалу $I\subset J$, значит $f$ не может принадлежать дополнению к $J$, так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит $f$, то содержит и все его степени). Значит $f$ необходимо принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$.
Обратно: пусть $f$ не принадлежит радикалу $\sqrt{I}$. Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с $I$. По предыдущей теореме существует простой идеал, содержащий $I$ и не содержащий ни одну из степеней элемента $f$. Значит $f$ не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$.

Примеры

• В кольце целых чисел $A=\mathbb{Z}$ каждый простой идеал имеет вид $pA$, где $p$ — простое число.

Доказательство  

Пусть $a \in I$ — наименьшее положительное число в $I$. Возьмем произвольное $b \in I$ и поделим с остатком на $a$ : $\qquad b = a*g + r$, где $0 \leq r<a$. В силу выбора $a$, имеем $r = 0$, т.е все элементы $I$ делятся на $a$. $I = a\mathbb{Z}$.

Положим, теперь, $I = pA$. Поскольку из $ab\in pA$ должно следовать $a\in pA$ или $b\in pA$, то $p$ — простое число.

• В кольце многочленов от одной переменной $A=\mathbb{R}[x]$ каждый простой идеал имеет вид $pA$, где $p$ — неприводимый над $\mathbb{R}$ многочлен.
• В кольце многочленов $A=\mathbb{Q}[x,y]$ множество $I=xA+yA$ является простым идеалом.

Доказательство  

Любой элемент $a\in \mathbb{Q}[x,y]$ можно представить в виде $a=a_0+a_1x+a_2y$, где $a_1,a_2\in \mathbb{Q}[x,y]$ — некоторые многочлены, $a_0\in \mathbb{Q}$ определено однозначно элементом $a$. Условие $ab\in I$ равносильно тогда условию $a_0b_0=0$, откуда следует либо $a_0=0$, либо $b_0=0$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7