- КОШИ ИНТЕГРАЛ
- КОШИ ИНТЕГРАЛ
-
- интегральная ф-ла, выражающая значение аналитической функции f (z )в точке, лежащей внутри замкнутого контура
, не содержащего внутри себя особенностей f (z), через её значения на этом контуре:
где интегрирование производится против часовой стрелки. Если точка z лежит вне контура
, то
К. и. впервые рассмотрел О. Коши в 1831.
Если
- произвольный гладкий контур (замкнутый или незамкнутый), а
- комплекснозначная ф-ция, заданная на
, то выражение
наз. интегралом типа Коши. Интеграл типа Коши определяет ф-цию, аналитическую вне контура
(если
замкнут, то фактически он определяет две аналитич. ф-ции - вне и внутри него). В случае, когда
- гладкая ф-ция, предельное значение интеграла типа Коши в точке z0 на контуре
, взятой слева от него (по отношению к направлению интегрирования), равно
где Р - символ гл. значения интеграла. Предельное значение справа в той же точке равно -
Разность этих граничных значений равна значению ф-ции
в точке z0.
Для того, чтобы предельные значения интеграла типа Коши, взятые со стороны области, ограниченной замкнутым контуром
, совпадали с ф-цией
, т. е. для того, чтобы интеграл типа Коши был К. и., необходимо и достаточно выполнение условий для любого
п=0,1, ... К. и. и интегралы типа
Коши используют, напр., в дисперсионных методах квантовой теории поля, оптики и др.
Лит. см. при ст. Аналитическая фунгщия.
Б. И. Завьялов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.