- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
-
- неск. связанных между собой спец. ф-ций, родственных ф-ций второго рода Q0(z), определяемых с помощью интегралов от элементарных ф-ций (интегральные экспоненты, синус, косинус и логарифм, интегралы вероятности и Френеля). Впервые введены Л. Эйлером (L. Euler) в 1768. В общем виде И. ф. можно получить, рассматривая дифференц. ур-ние гипергеом. типа
где s(z) и t(z) - полиномы не выше 2-й и 1-й степени. При l=ln=-nt'- п(п-1)s "/2, (n=0, 1, ...) ур-ние (1) имеет решения в виде полиномов n-й степени:
к-рые ортогональны с весом p(z) на нек-ром интервале (а, b). Здесь В п - нормировочная постоянная, ф-ция r(z) удовлетворяет ур-нию (sr)'=tr. Полиномы yn(z)сводятся к классич. ортогональным полиномам (полиномам Якоби, Лагерра и Эрмита).Вторым линейно независимым решением ур-ния (1) при l=ln являются ф-ции 2-го рода
где
полином степени n-1.С ф-циями 2-го рода Q0(z)связаны И. ф. Ф-ция Q0(z) для полиномов Якоби сводится к неполной бета-функции Bz(p, g), для полиномов Лагерра - к неполной гамма-функции Г(a, z), для полиномов Эрмита - к интегралу вероятности Ф(z).Ф-ции В z (р, q), Г(а, z), Ф(z) определяются след, образом:
Неполную гамма-функцию Г(a, z) при а=0, -1, -2, ..., можно выразить через интегральные экспоненты
для к-рых справедливы рекуррентное соотношение и ф-ла дифференцирования:
, разложение в ряд:
(С=0,5772 - постоянная Эйлера) и асимптотич. представление:
, где Г(n) - гамма-функция. <Наряду с Е1(z )употребляются родственные ей интегральная показательная функция Ei(z), связанная с Е1(z) соотношением Ei(z)=-Ei(-z), и ф-ции
к-рые наз. интегральным синусом и интегральным косинусом. При z>0
справедливы разложения в степенные ряды:
и асимптотич. представления:
где
Ряд (2) определяет интегральный синус как однозначную аналитич. ф-цию во всей комплексной плоскости z, а ряд (3) определяет интегральный косинус как однозначнуюаналитич. ф-цию в комплексной плоскости z с разрезом вдоль отрицат. действительной полуоси, причём Ci(x6i0)=Ci(-x)bip. Интегральный логарифм, определяемый для z>0 ф-лой
(при z>l следует использовать гл. значение интеграла), связан с ф-цией Ei(z) соотношениемli(z) = Ei(lnz).Ряд
определяет ф-цию li(z) как однозначную аналитич.
ф-цию в комплексной плоскости z с разрезом вдоль действит. оси для z<0 и z>l, причёмПри x "0 li(x)~xln-1(x-1). Интеграл вероятности (интеграл ошибок) Ф (z) можно разложить в степенной ряд:
это целая ф-ция комплексной переменной z. Асимптотич. представление
справедливо при z ":, Re z>0. С интегралом вероятности тесно связаны Френеля интегралы
при z>0 имеем
Графики функций Еi(x), li(x), Si(x), Ci(x) приведены на рис. Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., [т. 2], М., 1974; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984. .4. Ф. Никифоров.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.