СУПЕРСИММEТРИЯ это:

СУПЕРСИММEТРИЯ
СУПЕРСИММEТРИЯ

-симметрия физ. системы, объединяющая состояния, подчиняющиеся разным статистикам- статистике Бозе-Эйнштейна (бозоны) и статистике Ферми-Дирака (фермионы). Принципиальные основы С. сформулированы в нач. 1970-х гг. в работах [1, 2, 3]. В последующие годы происходило бурное развитие разл. физ. теорий, основанных на С. Применение методов С. относится гл. обр. к квантовой теории поля (КТП), включая теорию квантованного гравитац. поля (см. Супер гравитация )и теорию струн (см. Суперструны). Помимо КТП рассматривалось применение методов С. к нерелятивистской квантовой механике, а также к нек-рым др. разделам теоретич. физики. Прямым эксперим. подтверждением существования С. в природе было бы открытие т. н. суперпартнёров известных элементарных частиц (см. ниже). Такого подтверждения пока (1996) не получено.

Подобно др. типам симметрии, рассматриваемых в физике, С. формулируется в терминах нек-рой группы преобразований, действующих на состояния системы. В данном случае преобразования должны переводить фермионные состояния в бозонные и наоборот. Это придаёт С. своеобразные черты, не свойственные др. типам физ. симметрии, поскольку фермионные состояния отличаются от бозон-ных характером перестановочной симметрии (см. Перестановочные соотношения). Наиб. ясно это различие выявляется при вторичном квантовании, когда для построения полного набора состояний используются операторы рождения фермионов и бозонов. Отличие фермионов от бозонов проявляется в том, что операторы рождения бозонов коммутируют друг с другом, а также с операторами рождения фермионов, тогда как операторы рождения фермионов друг с другом антикоммутируют, т. е. при перестановке двух операторов их произведение меняет знак. Это формальное различие свойств операторов рождения влечёт за собой чрезвычайно глубокое различие в физ. свойствах систем, состоящих из бозонов, и систем, состоящих из фермионов.

Все известные физ. симметрии, кроме С., переводят фермионы в фермионы, а бозоны в бозоны, т. е. преобразования, описывающие эти симметрии, сохраняют характер перестановочной симметрии состояний. Преобразования С. меняют характер перестановочной симметрии - переводят коммутирующие величины в антикоммутирующие и наоборот. Для построения таких преобразований аппарат классич. групп Ли оказался недостаточным. Задача решается введением в теорию нового объекта-с у п е рг р у п п ы, представляющей собой обобщение группы Ли.

Вторым важным моментом, определившим структуру С., является связь спина и статистики (см. Паули теорема). Отсюда следует, что спиновые характеристики состояний существ. образом включаются в структуру суперсимметричных теорий. Тем самым С. связывается с основными пространственно-временными симметриями физ. теорий.

Адекватным матем. аппаратом суперсимметричных теорий являются алгебра и анализ с коммутирующими и антикоммутирующими переменными. Этот раздел математики получил назв. с у п е р м а т е м а т и к и. Отсюда же возник термин "С.". Следует подчеркнуть, что приставка "супер" имеет чисто терминелогич. характер и не несёт спец. смысловой нагрузки.

Супералгебры. Вместо группы Ли, описывающей симметрию физ. системы, в большинстве случаев достаточно рассмотреть более простой объект - соответствующую Ли алгебру, описывающую бесконечно малые преобразования симметрии. Элементы алгебры являются линейными ком-6'инациями базисных элементов - г е н е р а т о р о в. Обычно число генераторов конечно. Генераторы алгебры Ли образуют набор осн. физ. величин для системы, обладающей определ. симметрией.

В случае С. бесконечно малые преобразования образуют с у п е р а л г е б р у Л и. Прежде чем дать определение супералгебры, необходимо ввести нек-рые общие матем. понятия, характерные для суперматематики. Осн. роль играет понятие чётности. Не давая общего аксиоматич. определения этог о понятия, введём его в той форме, к-рая наилучшим образом приспособлена для построения адекватного языка в теории С. Рассмотрим ассоциативную алгебру А, порождённую образующими a1 а2, ..., а n, n=p + q. Первые р образующих а1, ..., а р, п о о п р е д е л е н и ю, являются чётными элементами алгебры, остальные q образующих <х, у], соответствующим образом обобщённый на случай градуированной алгебры. Коммутатор [ х, у]. определяется след. образом. Если элементы алгебры х и у имеют определ. чётность, то в случае, когда хотя бы один из элементов х, у чётный, коммутатор [ х, у] = ху-ух. Если же оба элемента х и у нечётные, то коммутатор [ х, у] = ху+ух. Для элементов общего вида, равных сумме чётного и нечётного элементов, коммутатор [ х, у]. определяется из условия билинейности. Определённый так обобщённый коммутатор объединяет понятия коммутатора и антикоммутатора в обычном смысле.

Рассмотренная конструкция устанавливает связь супералгебры с градуированной алгеброй А, к-рая является обобщением связи обычной алгебры Ли с ассоциативной алгеброй. Обобщённые коммутаторы удовлетворяют определ. тождествам. Все необходимые соотношения легко выводятся с помощью осн. определений.

Практически важный класс супер алгебр образуют супералгебры с конечным числом образующих В1, ..., BN. Обычно образующие Bk наз. генераторами. Заметим, что система генераторов Bk отнюдь не совпадает с системой образующих а i ассоциативной алгебры А. В силу билинейности коммутатора достаточно определить значения коммутаторов для генераторов с помощью соотношений типа

5005-47.jpg

В этом случае супералгебра определена заданием структурных констант С mkl.

Алгебра супертрансляций. Супералгеброй, лежащей в основе физ. суперсимметричных теорий, является т. н. алгебра супертрансляций, она порождается конечным числом чётных и нечётных генераторов. Нечётные генераторы, действуя на состояния системы, переводят бозоны в фер-мионы и наоборот. Убедиться в этом можно след. образом. Операторы рождения бозонов и фермионов можно рассматривать как систему образующих нек-рой (бесконечномерной) градуированной алгебры. При этом бозонные операторы считаются чётными элементами алгебры, а фермионные - нечётными. Установив чётность одноча-стичных состояний, можно определить чётность любых состояний. Справедливо общее утверждение: чётные состояния подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, нечётные-статистике Ферми-Дирака. Отсюда легко вывести утверждение относительно нечётных генераторов алгебры супертрансляций.

Из условия релятивистской инвариантности теории следует, что генераторы супертрансляций должны преобразовываться по нек-рому представлению группы Лоренца. Учитывая связь спина и статистики, получаем дальнейшее уточнение этого требования: нечётные генераторы преобразуются по представлениям с полуцелым спином, чётные- по представлениям с целым спином. Простейшее допущение, согласующееся с этим требованием, состоит в том, что нечётные генераторы являются спинорами. Это допущение и лежит в основе построения алгебры супертрансляций.

Спиноры - это величины, преобразующиеся по фундам. представлениям группы комплексных матри. <ц второго порядка с детерминантом, равным единице. Эта группа обозначается символом SL(2, С). Существуем два фундам. представления группы SL(2, С), к-рые комплексно сопряжены друг другу. Соответствующие спиноры обычно обозначаются символами типа Qa и 5005-48.jpg. Индексы a и 5005-49.jpgпринимают два значения.

Более детальное рассмотрение приводит к тому, что для построения нетривиальной алгебры супертрансляций чётные генераторы должны образовывать 4-вектор Рm (m = 0, 1, 2, 3). Т. о., наиб. простая алгебра супертрансляций порождается четырьмя чётными, генераторами Рm и четырьмя нечётными генераторами Qa, 5005-51.jpg. Перестановочные соотношения типа (1) между генераторами всегда могут быть приведены к форме

5005-50.jpg


5005-52.jpg

Все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Индекс " + " в левой части соотношения (3) означает антикоммутатор. Это соответствует рассмотренным выше правилам построения операции коммутирования в супералгебре. sm - матрицы второго порядка: s0 = I, si, i=1, 2, 3 - спиновые Паули матрицы, I - единичная матрица.

Важнейшее физ. предположение относительно супералгебры (2) состоит в том, что чётные генераторы Рm. являются 4-вектором энергии-импульса системы. Операторы энергии и импульса - это генераторы трансляций времени и пространства. Алгебра супертрансляций (2) представляет собой расширение алгебры трансляций путём введения четырёх новых генераторов "спиновых трансляций" Qa и 5005-53.jpg. Генераторы обычных трансляций связаны с генераторами спинорных трансляций нетривиальными соотношениями (3). Перестановочные соотношения между операторами моментов - генераторами преобразований Лоренца - и генераторами алгебры супертрансляций (2) однозначно определяются ковариантными свойствами этих генераторов.

Условие С. теории сводится к тому, чтобы алгебра супертрансляций была представлена линейными операторами в пространстве состояний. Для этого достаточно, чтобы операторы, соответствующие генераторам (2), удовлетворяли перестановочным соотношениям (3). Из этих соотношений видно, что для суперсимметричных теорий операторы энергии и импульса выражаются в виде произведений спинорных операторов. В частности, для гамильтониана системы получается выражение

5005-54.jpg

из к-рого следует, что энергия суперсимметричной системы не может принимать отрицат. значений.

Алгебра супертрансляций (2)-самая простая среди семейства аналогичных супералгебр. Члены этого семейства характеризуются целым числом N, обозначающим кол-во спинорных генераторов. Более сложные супералгебры 5005-55.jpg описываются единым образом:

5005-56.jpg

Индекс А относится к внутр. пространству (см. Внутренняя симметрия). Перестановочные соотношения имеют вид (выписываются только отличные от нуля коммутаторы)

5005-57.jpg

(d АВ - символ Кронекера, e - антисимметричная матрица второго порядка). Генераторы Z наз. ц е н т р а л ь н ы м и з а р я д а м и, они коммутируют со всеми элементами супералгебры. Спинорные генераторы QaA и 5005-58.jpg преобразуются по комплексно-сопряжённым представлениям группы внутр. симметрии. Исходя из достаточно общих требований, можно показать, что семейство супералгебр (5) исчерпывает все возможные алгебры супертрансляций. О супералгебре (2), соответствующей N=1, говорят как о N=1 суперсимметрии (или просто С.). Случай N> 1 отвечает р а с ш и р е н н о й с у п е р с и м м е т р и и.

Супермультиплеты частиц. Неприводимые представления алгебры супертрансляций (2) объединяют неск. неприводимых представлений группы Пуанкаре с одной и той же массой и разл. значениями спина. Проще всего это проиллюстрировать для одночастичных состояний. В этом случае получаются супермультиплеты частиц. Если масса частиц не равна нулю, структура супермультиплета определяется числом j, принимающим целые и полуцелые значения. При данном j супермультиплет имеет спиновый состав (j -1/2, j, j, j+1/2), т. е. он содержит две частицы спина j, частицу спина j -1/2 и частицу спина j+ 1/2. В случае нулевой массы супермультиплеты объединяют частицы, имеющие спиральность l, l+1/2. Число l принимает целые и полуцелые значения. В отличие от спина j, принимающего неотрицат. значения, l может принимать значения любого знака. Супермультиплеты (l, l+1/2) и ( - l, -l-1/2) переходят друг в друга при пространственной инверсии. В каждом супермультиплете число бозонных состояний равно числу фермионных состояний; с этим связано сокращение расходимостей в суперсимметричных теориях. Как известно, в квантовой теории поля нек-рые физ. величины оказываются бесконечными за счёт расходящихся интегралов. В суперсимметричных теориях многие из этих величин оказываются конечными, поскольку расходимости, связанные с бозонами, компенсируются соответствующими расходи-мостями, связанными с фермионами.

Для расширенной С. супермультиплеты имеют более сложное строение. Они объединяют частицы с разными спинами и разными значениями внутр. квантовых чисел.

Частицы (состояния), принадлежащие одному супер-мультиплету, наз. с у п е р п а р т н ё р а м и. Как отмечалось, существование суперпартнёров - одно из наиб. важных качественных предсказаний С. В суперсимметричных обобщениях основных теоретико-полевых моделей фигурируют суперпартнёры известных частиц. Для них установились спец. названия. Укажем наиб. распространённые из них. В квантовой электродинамике скалярный суперпартнёр электрона наз. с э л е к т р о н о м, а спинорный суперпартнёр фотона - ф о т и н о. Электрон и сэлектрон образуют супермультиплет, соответствующий j = 0, фотон и фотино - супермультиплет, соответствующий l= 1/2. В квантовой хромодинамике суперпартнёр кварка получил назв. с к в а р к, а суперпартнёр глюона-глюино. В теории электрослабого взаимодействия суперпартнёры W- и Z-бозо-нов наз. в и н о и з и н о. В супергравитации суперпартнёр гравитона, имеющий спин 3/2, назван гравитино.

В случае точной С. (ненарушенной) массы суперпартнёров должны быть одинаковыми. Однако на опыте бозоны и фермионы с равными массами не обнаружены. Отсюда следует, что С., адекватная законам природы, должна быть н а р у ш е н н о й.

Разработаны разл. методы построения теорий с нарушенной симметрией. Нек-рые из этих методов применимы также и к суперсимметричным теориям. На их основе делаются попытки построения реалистич. суперсимметричных моделей. Разл. модели дают разные предсказания для значений массы суперпартнёров.

Грассмановы числа. В построении аппарата суперсимметричных теорий фундам. роль играют грассмановы числа - элементы Грассмана алгебры. Алгебра Грассмана- одна из простейших градуированных ассоциативных алгебр с единицей. Её образующие а1, ..., aq, по определению, нечётны и подчинены соотношениям антикоммутации aiaj + ajai = 0. В силу этих определений все нечётные элементы алгебры Грассмана между собой антикоммутируют, а все чётные элементы коммутируют как между собой, так и с нечётными элементами.

Грассмановы числа позволяют установить связь между супералгеброй и нек-рой группой и тем самым перейти от бесконечно малых преобразований к конечным преобразованиям С. В случае алгебр Ли элементы соответствующей группы образуются с помощью экспоненц. ф-лы. Аналогичным образом и для супергруппы можно построить экспоненц. выражения

5005-59.jpg

Здесь В n - генераторы супералгебры, а b п - параметры группы. Однако если в качестве параметров взять обычные числа, то величины (7) группы не образуют. Для того, чтобы они образовали группу, нужно в качестве параметров взять грассмановы числа. При этом должно выполняться правило: множители при чётных генераторах - чётные элементы, а при нечётных - нечётные. Группы, построенные таким способом, обычно наз. супергруппами.

В простых вариантах суперсимметричных теорий используются грассмановы числа с четырьмя образующими, для к-рых вводятся спец. обозначения: qa, 5005-60.jpg. Индексы a и 5005-61.jpg принимают два значения. Такие обозначения приспособлены к тому, что образующие qa и 5005-62.jpg являются двухком-понентными вейлевскими спинорами, преобразующимися по комплексно-сопряжённым представлениям группы SL(2,C). Для грассмановых чисел построена не только соответствующая алгебра, но и аппарат анализа. Осн. относящиеся сюда результаты изложены Ф. А. Березиным в [4]; ему принадлежит ведущая роль в разработке этого раздела математики.

Осн. операции алгебры и анализа для грассмановых чисел с образующими qa и 5005-63.jpg определяются след. образом. Поднятие и опускание индексов производится с помощью антисимметричной матрицы e:

5005-64.jpg

(Такие же ф-лы справедливы для величин с пунктирными индексами.) По двум одинаковым, верхнему и нижнему, индексам производится суммирование. Величины типа qj = qaja и 5005-65.jpg являются лоренцовыми скалярами. Дифференцирование по образующим производится посредством дифференц. операторов

5005-66.jpg

Поскольку грассмановы числа представляют собой суммы произведений образующих q, операции дифференцирования (9) могут быть применены к любому грассманову числу. Т. к. эти операции нечётные, при перестановке оператора дифференцирования (9) с любым нечётным элементом алгебры Грассмана необходимо изменить знак. Интегрирование определено с помощью ф-л

5005-67.jpg

Здесь q - любая из образующих алгебры Грассмана. Повторное применение правил (10) позволяет вычислить интеграл от любого грассманова числа. Для определённых так операций дифференцирования и интегрирования по антикоммутирующим переменным справедливы (с очевидными изменениями) обычные правила дифференциального и интегрального исчисления. В частности, ф-ла

5005-68.jpg

справедлива для любого грассманова числа Y. Соотношение (11) непосредственно следует из правил интегрирования.

Суперполя. Осн. конструктивным элементом при построении суперсимметричных теорий являются с у п е р-п о л я, представляющие собой элементы алгебры Грассмана с образующими q, коэффициентами при к-рых служат физ. поля (см. также Суперпространство). Каждое суперполе объединяет неск. физ. полей с целыми и полуцелыми спинами. Благодаря суперполям удалось придать суперсимметричным теориям простую форму. Те же теории, выраженные через компонентные поля, выглядят значительно сложнее.

Суперполя наиб. простого вида-это скалярные кираль-ные суперполя. Они характеризуются тем, что содержат либо только произведения образующих q, либо только образующих 5005-69.jpg. Соответственно существуют два типа ки-ральных суперполей-левое и правое:

5005-70.jpg

где А(х), F(x )и ja(x) - компонентные поля левого суперполя Ф L (х) (х- точка пространства-времени). Поля А и F- скалярные, двухкомпонентный спинор j - левое киральное поле. Аналогичными свойствами обладают компонентные поля правого кирального суперполя Ф R( х), содержащего правое киральное поле 5005-71.jpg( х). Оба суперполя являются лоренцовыми скалярами. При пространственной инверсии левое киральное суперполе переходит в правое и наоборот. Весьма важно след. соглашение: скалярные поля А (хF(x )(и вообще поля целого спина) коммутируют друг с другом и со всеми остальными полями, тогда как спинорные поля ja( х) (поля полуцелого спина) являются нечётными элементами алгебры Грассмана, а qj - чётными. Благодаря этому суперполя (12) коммутируют друг с другом.

Киральные суперполя (12) хорошо иллюстрируют принцип построения суперполей. Примером суперполя общего типа, содержащего все образующие q, является векторное суперполе

5005-72.jpg

Его компонентные поля: четыре скалярных поля а, b,5005-73.jpgи с, четыре спинорных j, 5005-74.jpg, Y, 5005-75.jpg и одно векторное um. С наличием векторной компоненты и связано название суперполя (13). Помимо рассмотренных скалярных суперполей существуют суперполя с разл. лоренцовыми индексами, а также с индексами, относящимися к внутр. симметриям. В теориях С. удобно пользоваться спец. представлением алгебры супертрансляций (2), в к-ром генераторы выражены через операторы, действующие на суперполя. Оператор 4-импульса выражается через оператор дифференцирования по координате: Рm=-m, а спинорные генераторы берутся в виде

5005-76.jpg

Здесь дa. и 5005-77.jpg -антикоммутирующие дифференц. операторы (9). Генераторы (14) удовлетворяют перестановочным соотношениям (3), а операторы применимы к суперполям общего вида (13). Можно построить аналогичные представления и для киральных суперполей. Все эти представления эквивалентны, и преобразование от одного представления к другому производится при помощи оператора

5005-78.jpg

Суперсимметричное действие. Суперполя обладают важным свойством: произведение суперполей данного типа является суперполем того же типа. Это означает, что закон преобразования произведения суперполей при супертрансляциях тот же, что и закон преобразования множителей. При перемножении суперполей разных типов нужно согласовывать их законы преобразования, что достигается введением разл. степеней оператора (15).

Это замечание даёт общий метод построения суперсимметричных теорий. Проиллюстрируем его на простейшем примере самодействия киральных суперполей. В этом случае действие (в несколько схематич. форме) равно

5005-79.jpg

Здесь т - масса частиц супермультиплета, g- безразмерная константа связи. Суперполя Ф L и Ф R, входящие в выражение (16), эрмитово сопряжены, в результате чего величина действия S оказывается вещественной. Условие эрмитовой сопряжённости суперполей Ф L и Ф R накладывает связи на компонентные поля в выражениях (12). Независимыми остаются два комплексных скалярных поля А (хF(x )и майорановский спинор Y(x), составленный из двух сопряжённых двухкомпонентных спинорных полей j( х) и 5005-80.jpg ( х). Через эти поля выражается действие S после интегрирования по антикоммутирующим переменным. В получившемся выражении поле F(x )входит без производных. Исключая это поле при помощи ур-ний движения, можно придать действию S стандартный вид теории двух взаимодействующих полей - комплексного скалярного поля А (х) и спинорного поля Y(x). Оба эти поля имеют одинаковые массы. Взаимодействие представляется в виде суммы членов третьего и четвёртого порядков относительно полей. Константы взаимодействия выражаются через константу g. Состав полей, входящих в эту теорию, соответствует супермультиплету при j = 0. На этом примере можно проследить характерные черты суперсимметричных теорий поля. Все такие теории представляют собой взаимодействие определ. набора физ. полей, причём спины этих полей подчинены правилам построения супермультиплетов, а взаимодействие имеет спец. вид.

Убедиться в том, что действие S, заданное в форме (16), суперсимметрично, т. е. инвариантно относительно бесконечно малых преобразований супертрансляций (14), можно след. образом. В силу свойств произведений суперполей отд. слагаемые в подынтегральном выражении можно рассматривать как (составные) суперполя. Поэтому бесконечно малые супертрансляции, применённые к отд. множителям, переносятся на всё подынтегральное выражение. При этом члены, содержащие антикоммутирующие производные дa, обращаются в нуль в силу соотношений типа (11), и действие операторов Qa сводится к пространственно-временной дивергенции, исчезающей при интегрировании по координатам.

Указанный метод построения суперсимметричных теорий может быть обобщён на более сложные случаи. Практически для любой системы взаимодействующих полей могут быть построены соответствующие супераналоги. В частности, рассмотрены суперсимметричные теории Ян-га- Миллса. В таких теориях роль векторного калибровочного поля играет векторное суперполе (13). С помощью суперсимметричных теорий янг-миллсовского типа изучались суперобобщения теории электрослабого взаимодействия, а также моделей великого объединения. В последнем случае С. позволяет (по крайней мере, в принципе) подойти к решению центральной для великого объединения проблемы т. н. иерархии. Важную роль в этих теориях играют разл. способы нарушения С. С физ. точки зрения, такие теории интересны тем, что в них возникает большое кол-во новых, не рассмотренных ранее процессов, связанных с наличием суперпартнёров. Широкий класс теорий, содержащих частицы со спином 2 (гравитоны) и их суперпартнёров со спином 3/2 (гравитино), составляют содержание супергравитации.

Некоторые следствия суперсимметрии. Ряд качественных следствий С. был указан выше. Это в первую очередь появление супермультиплетов, т. е. семейств частиц, содержащих частицы как целого, так и полуцелого спина и выступающих во всех процессах на "паритетных" началах (с точностью до возможного нарушения С.). В случае расширенной С. в супермультиплетах имеет место корреляция между спинами частиц и параметрами, описывающими внутр. симметрию.

Однако существует также ряд др. "теоретических" эффектов, вытекающих из С. Эти эффекты в наиб. отчётливой форме проявляются в методе суперполей и основанной на нём диаграммной технике. В методе суперполей эффекты, связанные с суперпартнёрами, собираются воедино. При этом вклады суперпартнёров иногда компенсируют друг друга. В результате происходит сокращение ультрафиолетовых расходимостей, характерных для несу-персимметричных теорий. Отметим нек-рые важные случаи такого сокращения. В суперсимметричных теориях энергия вакуума равна нулю. Это связано с тождественным обращением в нуль всех вакуумных петель. Обращаются в нуль также "головастики" - вклады диаграмм с одним внешним концом. Сокращаются квадратичные расходимости в массовых членах бозонов. Т. о., в суперсимметричных теориях все радиац. поправки к массам частиц могут расходиться только логарифмически.

Более детальное рассмотрение показало, что нек-рые суперсимметричные теории поля оказываются конечными,- в них вообще отсутствуют УФ-расходимости. Построен целый класс таких теорий.

Суперсимметричная квантовая механика. Алгебра супертрансляций и основанная на ней С. отражают специфику релятивистской квантовой теории. К этой области относится осн. масса работ и важнейшие результаты, связанные с С. Однако и в нек-рых др. областях науки методы С. также нашли плодотворное применение. Помимо алгебры супертрансляций (2), существует ряд др. супералгебр, на основе к-рых можно развивать суперсимметричные теории. Рассмотрим кратко простейшую из таких супералгебр

5005-81.jpg

к-рая порождена одним чётным генератором Н и двумя нечётными генераторами Q, Q+. Генераторы связаны перестановочным соотношением

5005-82.jpg

Все остальные коммутаторы равны нулю.

На базе супералгебры (17) строятся разл. варианты суперсимметричной квантовой механики. Общая схема построения такова. Пространство векторов состояний системы разбивается в прямую сумму пространства бозонных и фермионных состояний. Удобно записывать вектор состояния в двухкомпонентной форме

5005-83.jpg

где верхняя компонента представляет собой фермионное состояние, а нижняя - бозонное. Следует подчеркнуть, что разделение состояний на бозонные и фермионные носит условный характер и не связано с присутствием реальных бозонов и фермионов. Более того, нет к.-л. регулярного метода определения разбиения (19). Явный вид этого разбиения связан с конкретной задачей. Генераторы Q, действующие на векторы (19), задаются в матричной форме:

5006-1.jpg

Здесь В - оператор, действующий на "бозонные" переменные, В + - сопряжённый оператор. Генератор Н отождествляется с гамильтонианом системы, определяемым с помощью соотношения (18):

5006-2.jpg

где s3 - матрица Паули, действующая на вектор (19).

Конкретная суперсимметричная квантовомеханич. задача сводится к определению вида оператора В. Для одномерной системы оператор В удобно принять в форме

5006-3.jpg

где W(x) - произвольная ф-ция координаты х, а р = = -iд/дх - оператор импульса. Гамильтониан принимает обычный вид:

5006-4.jpg

Этот гамильтониан соответствует суперсимметричной квантовой механике Виттена (Е. Witten, 1981); его спектр обладает характерными особенностями. Все уровни с энергией 5006-5.jpg>0 двукратно вырождены. Осн. состояние не вырождено только в том случае, если его энергия равна нулю. Опираясь на эти два свойства, в отд. случаях удаётся полностью определить дискретный спектр гамильтониана (23).

Для нек-рых конкретных задач С. рассмотренного типа является реальной физ. симметрией. Наиб. важный случай- электрон в магн. поле. В этой задаче С. возникает для след. типов магн. полей: "двумерное поле", т. е. поле, направленное по оси z и произвольным образом зависящее от координат х и у: Bx = By =0, Bz = Bz(x, у); трёхмерное поле с определ. чётностью: В( - х)= b В (х). В этих двух случаях можно определить генераторы Q с нужными свойствами, причём в каждом случае построение проводится по-разному. Так, в первом случае компоненты вектора (19) характеризуются значениями проекции спина на ось z, а во втором случае - чётностью волновой ф-ции. Из этого примера виден условный характер введения бозон-ных и фермионных степеней свободы.

Интересный пример С. обнаруживается в задаче о движении системы под действием случайной силы. Эта задача из теории случайных процессов оказывается формально аналогичной суперсимметричной квантовой механике.

Для более подробного ознакомления с разл. аспектами С. см. [5-10].

Лит.:1) Гольфанд Ю. А., Лихтман Е. П., Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариант-ности, "Письма в ЖЭТФ", 1971, т. 13, в. 8, с. 452; 2) Волков Д. В., Акулов В. П., О возможном универсальном взаимодействии нейтрино, "Письма в ЖЭТФ", 1972, т. 16, в. И, с. 621; 3) Wess J., Zumino В., A Lagrangian model invariant under super-gauge transformations, "Phys. Lett.", 1974, v. 49B, p. 52; 4) Бере-зин Ф. А., Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными, М., 1983; 5) Огиевецкий В. И., Мезинческу Л., Симметрии между бозонами и фермионами и суперполя, "УФН", 1975, т. 117, в. 4, с. 637; 6) Генденштейн Л. Э., Криве И. В., Суперсимметрия в квантовой механике, "УФН", 1985, т. 146, в. 4, с. 553; Высоцкий М. И., Суперсимметричные модели элементарных частиц - физика для ускорителей нового поколения?, там же, с. 591; Арефьева И. Я., Волович И. В., Суперсимметрия: теория Калуцы - Клейна, аномалии, суперструны, там же, с. 655; Вайнштейн А. И., Захаров. В. И., Шифман М. А., Инстанто-ны против суперсимметрии, там же, с. 683; 7)Весс Ю., Бег-гер Дж., Суперсимметрия и супергравитация, пер. с англ., М., 1986; 8) Ахиезер А. И., Пелетминский С. В., Поля и фундаментальные взаимодействия, К., 1986; 9) Уэст П., Введение в суперсимметрию и супергравитацию, пер. с англ., М., 1989; 10) Суперсимметрия, калибровочные поля и квантование, сб. статей, под ред. В. Я. Файнберга, М., 1993. Ю. А. Гольфанд.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»