ОПЕРАТОРЫ


ОПЕРАТОРЫ
ОПЕРАТОРЫ

       
в квантовой теории, понятие, широко используемое в матем. аппарате квант. механики и квант. теории поля. О. служат для сопоставления с определ. волновой функцией (или вектором состояния) y другой определ. ф-ции (вектора) y'. Соотношение между y и y' записывается в виде y' =L^y, где L ^— О. В квант. механике физ. величинам L (координате, импульсу, энергии и др.) ставятся в соответствие О. L (оператор координаты, импульса и т. д.), действующие на y. Простейшие виды О., действующие на волн. ф-цию y(х) (где х — координата ч-цы),— О. умножения (напр., О. координаты х^, x^y=xy) и О. дифференцирования (напр., О. р^х проекции импульса на ось х, рх^y=-iћдy/дx). Если y — вектор, компоненты к-рого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную таблицу — матрицу.
В квант. механике в осн. используются линейные О., к-рые обладают след. св-вом: если L^y1=y'1 и L^y2=y'2, то
L^(с1y1+с2y2)=c1y'1+c2y'2,
где c1 и с2 — комплексные числа.
Св-ва О. L^ определяются ур-нием L^yn=lnyn, где ln — числа. Решения этого ур-ния yn наз. собственными функциями (собств. векторами) О. ?. Собств. волн. ф-ции (собств. векторы состояния) описывают в квант. механике такие состояния, в к-рых физ. величина L (соответствующая О. ?) имеет определ. значение ln. Числа ln наз. собственными значениями О. L^, а их совокупность — спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае ур-ние, определяющее yn, имеет решение при любом значении ln (в определ. области), во втором — решения существуют только при определ. дискр. значениях ln. Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Напр., О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от хар-ра действующих в системе сил — непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискр. собств. значения О. энергии наз. уровнями энергии.
Собств. ф-ции и собств. значения О. физ. величин должны удовлетворять определ. требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физ. величины всегда принимают веществ. значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь веществ. собств. значения. Поскольку при измерении физ. величины в любом состоянии y должно получаться одно из возможных собств. значений О. этой величины, необходимо, чтобы произвольная волн. ф-ция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. ф-ций (векторов) yn О. этой физ. величины; другими словами, совокупность собств. ф-ций (векторов) должна представлять полную систему. Этими св-вами обладают собств. ф-ции и собств. значения т. н. самосопряжённых, или эрмитовых, О.
С О. можно производить алгебр. действия. В частности, под произведением О. L^1 и L^2 понимается такой О. L^=L^1L^2, действие к-рого на y даёт L^y=y"', если L^2y=y' и L^1y'=y". Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е. L^1L^2?L^2L^1. Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух О. тесно связана с возможностью физ. системы находиться в состоянии, в к-ром соответствующие О. физ. величины имеют точно определ. Значения (или с возможностью одноврем. измерения физ. величин, к-рым отвечают эти О.). Необходимым и достаточным условием одноврем. измеримости физ. величин L1 и L2 явл. равенство L^1L^2= L^2L^1 (см. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ).
Ур-ния квант. механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и ур-ния классич. механики (гейзенберговское представление в квант. механике), если заменить физ. величины, входящие в ур-ния классич. механики, соответствующими им О. Различие между квант. и классич. механикой сведётся тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квант. механике иногда наз. q-числами, в отличие от c-чисел, т. е. обыкновенных чисел, с к-рыми имеет дело классич. механика.
О. можно также возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать ф-ции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не явл. эрмитовым. В квант. механике используются и неэрмитовы О., важным классом к-рых явл. унитарные О., не меняющие норм («длин») векторов и «углов» между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности и исходной и преобразованной ф-ции. Поэтому действием унитарного О. описывается изменение квантовомеханич. системы с течением времени, а также её смещение как целого в пр-ве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квант. механике такую же роль, какую в классич. механике играют канонич. преобразования (см. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ).
В квант. механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. наз. антиунитарным О. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени и некоторые др.
В теории квант. систем, состоящих из тождеств. ч-ц, широко применяется метод вторичного квантования. В нём рассматриваются состояния с перем. числом частиц и вводятся О., действие к-рых на вектор состояния с данным числом ч-ц приводит к вектору состояния с изменённым на единицу числом ч-ц (О. рождения и уничтожения ч-ц). О. рождения или уничтожения ч-цы в данной точке х, y^(x), формально подобен волн. ф-ции y(x), как q- и с-числа, отвечающие одной и той же физ. величине соответственно в квант. и классич. механике. Такие О. образуют квантованные поля, играющие фундам. роль в релятив. квант. теориях (квант. электродинамике, теории элем. ч-ц).

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. . 1983.

ОПЕРАТОРЫ

в квантовой теории - символич. <изображение составленных но определённым правилам матем. операций (алгебраич.,дифференциальных, интегральных, перестановочных и т. д.), используемыхв квантовой теории для преобразования встречающихся в ней величин. Еслисостояние квантовой системы описывается с помощью волновой ф-ции 15013-64.jpg (для конкретности, напр., в Шрёдингера представлении), то О. илиих последовательность в конечном счёте действуют на эту ф-цию, сопоставляяс ней волновую ф-цию, соответствующую уже др. состоянию системы. В др. <формализмах квантовой теории (напр., когда состояние системы фиксируетсяс помощью О. матрицы плотности или в представлениях, когда 15013-65.jpgявляется фиксир. вектором в гильбертовом пространстве )О. действуютна др. О., характеризующие состояние системы или к.-л. её характеристики. <Ниже будут рассмотрены наиб. часто встречающиеся типы О.

Операторы динамических величин Общиеположения. В соответствии с осн. принципами квантовой механики (в линейнойотносительно 15013-66.jpg -функции теории) каждой физ. величине F ставится в соответствиелинейный самосопряжённый О.15013-67.jpgпреобразующий 15013-68.jpg -функциюв новую, но принадлежащую тому же классу ф-цию 15013-69.jpg15013-70.jpg (где f - число). Если кси задана в виде разложения 15013-71.jpg
по заранее выбранным базисным ф-циям 15013-72.jpg (определяющим конкретное представление как волновой ф-ции, так и действующихна неё О.), т. е. задана как вектор Ф(t) = {Ф п(t)}в бесконечномерном гильбертовом пространстве, то действие 0.15013-73.jpgприводит помимо умножения на число f к повороту вектора Ф в этомпространстве, а изменение его компонент Ф п- > Ф' п- к перераспределению квантовомеханич. вероятностей |Ф п(t)|2 обнаружить систему в каждом из состояний, характеризуемых 15013-74.jpgФ-ции 15013-75.jpgи 15013-76.jpg считаютсянормированными на 1, т. е. вне зависимости от наличия штриха

15013-77.jpg

С каждым О.15013-78.jpgв квантовой механике связывается ур-ние 15013-79.jpgопределяющее его собств. значения f п и полную системуортонормированных собств. ф-ций 15013-80.jpgподчинённых определённым граничным и всем необходимым общим для 15013-81.jpg -функцийусловиям. Совокупность величии {f п} определяет спектрвозможных значений физ. величины F, а система ф-ций {15013-82.jpg;(каждая из к-рых характеризует состояние, в к-ром эта величина имеет значение fn )может служить базисом пространства, в к-ром представляются все др. состояниясистемы.
Требование линейности О.

15013-83.jpg

(где 15013-84.jpgи 15013-85.jpg- волновые ф-цни двух возможных состояний системы, c1 и с 2 - числа) можно рассматривать как выражение суперпозициисостояний принципа в квантовой механике, условие же самосопряжённостиоператора 15013-86.jpgобеспечивает действительность квантовомеханич. ср. значений физ. величины F, к-рыеопределяются как

15013-87.jpg

где 15013-88.jpg- волновая ф-ция состояния, для к-рого определяется ср. значение F, а 15013-89.jpg - её комплексносопряжённая величина (если 15013-90.jpg- многокомпонентная ф-ция, то вместо 15013-91.jpgздесь стоит эрмитово сопряжённая ф-ция 15013-92.jpg).Определяя О.15013-93.jpgтранспонированный по отношению к исходному с помощью соотношения

15013-94.jpg

можно записать условие самосопряжённостиО.15013-95.jpgв виде 15013-96.jpgгде 15013-97.jpg Вслучае, когда система находится в одном из состояний 15013-98.jpgср. значение 15013-99.jpgавтоматическисовпадает с собств. значением fn. Более того, ур-ние, <определяющее собств. ф-ции и собств. значения О.15013-100.jpgматематически эквивалентно обращению в нуль квантовомеханич. дисперсии(не только квадратичной, но и любого порядка) величины F:15013-101.jpg для состояний 15013-102.jpgсовпадающих с любым из 15013-103.jpgВ связи с этим говорят, что в рамках квантовомеханических представленийизмерение физ. величины F может привести только к к.-л. из значений fn.
Алгебраич. действия с О. определяютсясогласно ф-лам

15013-104.jpg

Деление на О. определяется с помощью введенияобратного О.15013-105.jpgтакого, что 15013-106.jpgгде I означает О. умножения на единицу, причём 15013-107.jpg=15013-108.jpg для fn15013-109.jpg0. Если О.15013-110.jpgвыступает в качестве аргумента нек-рой ф-цни 15013-111.jpgто О.15013-112.jpgпонимаетсякак разложение этой ф-ции в формальный степенной ряд, в к-ром вместо степеней 15013-113.jpgстоятсоответствующие степени О.15013-114.jpg

15013-115.jpg

а его собств. значения непосредственновыражаются через собств. значения 15013-116.jpg

15013-117.jpg

Еслп два О.15013-118.jpgи 15013-119.jpgимеютодну и ту же систему собств. ф-ций,15013-120.jpgи 15013-121.jpg то порядокдействия этих О. в произведении безразличен и коммутатор этих О. равеннулю:15013-122.jpg
И обратно, величины . и G могутодновременно иметь определённые значения только в том случае, если коммутаторО.15013-123.jpgи 15013-124.jpgравеннулю. В противном случае физ. величины F и G не могут (врамках квантовой теории) одновременно иметь точные значения. Некоммутативностьряда О. физ. величин приводит к существованию соответствующих неопределённостейсоотношений в квантовой механике. Т. к. при эрмитовом сопряжении произведениядвух О. порядок их расположения меняется,15013-125.jpgто произведение эрмитовых О. будет также эрмитовым О. только в случае, <если эти О. коммутируют друг с другом.
Постановка задачи на полное определениеф-ции состояния и полного набора квантовых чисел п, характеризующихэто состояние, для системы с 15013-126.jpgстепенями свободы (с обязат. включением степени свободы, связанной с возможнымиэнергетич. состояниями) заключается в построении полного набора независимыхкоммутирующих друг с другом О.15013-127.jpgхарактеризующих положение системы по отношению к её степеням свободы, исовместном решении ур-ний

15013-128.jpg

со всеми необходимыми для волновой ф-ции 15013-129.jpgдополнит. <условиями, соответствующими характеру рассматриваемой задачи.
Конкретное матем. выражение О. дипамич. <величины зависит от выбора пространства х, на к-ром определены ф-циисостояния 15013-130.jpg( х).
О. в конфигурационном (координатном) представлении. <Если волновая ф-цня системы задана как ф-ция пространств, координат и времени,15013-131.jpgто простейшими О., с помощью к-рых строятся все остальные О. динамич. величин, <являются О. координаты 15013-132.jpg15013-133.jpgопределяемый как умножение на координату 15013-134.jpgпО. импульса 15013-135.jpgявляющийся дифференц. О. первого порядка:

15013-136.jpg

Собств. ф-ция О. координаты, соответствующаясобств. значению r0, представляет собой дельта-функцию Дирака:15013-137.jpgа собств. ф-ция О. импульса, соответствующая собств. значению р,- плоскую волну

15013-138.jpg

[в обоих случаях нормировка 15013-139.jpgи 15013-140.jpg произведенана 15013-141.jpg -функцию].О. любой динамич. величины F(p,r )определяется как

15013-142.jpg

Т. к.15013-143.jpgи 15013-144.jpgнеимеют общей системы собств. ф-ций, то О. дииамич. величин, как правило, <нe коммутируют друг с другом, в частности

15013-145.jpg

но 15013-146.jpg
Для системы из N частиц динамич. <переменные представляются совокупностью координат r1,..., rN и импульсов р1,..., pN и в написанных выше ф-лах аргументы r и 15013-147.jpgзаменяются на r1, ..., rN и 15013-148.jpg...,15013-149.jpgгдекаждое 15013-150.jpgявляется дифференц. О., действующим на аргумент ri ф-ции 15013-151.jpg(r1,..., rN).
Вкачестве примеров для О.15013-152.jpgможет служить оператор Гамильтона ( гамильтониан)15013-153.jpg играющийпринципиальную роль во всей квантовой теории и определяющий данную конкретнуюсистему, и О. орбитального (углового) момента 15013-154.jpgДля N взаимодействующих между собой нерелятивистских частиц гамильтонианимеет вид

15013-155.jpg

где mi - масса i -йчастицы, U(ri) и Ф(ri,rj)- потенциалы взаимодействия частиц с внеш. полем и друг с другом (еслиэто взаимодействие не зависит от скоростей частиц). Для системы заряж. <частиц О. импульса заменяется:

15013-156.jpg

где A(r,t) - векторный потенциалэл.-магн. поля, ei- заряд частицы (в гауссовой системеединиц).
О. момента 15013-157.jpgпредставляетсобой сумму О. моментов для каждой из N частиц. Для одной частицы 15013-158.jpg15013-159.jpgКомпоненты О. моменты не коммутируют друг с другом,15013-160.jpg (дведр. лары соотношении получаются при циклич. замене х- > у - x), но 15013-161.jpgпоэтому в квантовой теории имеет смысл говорить о состояниях с определённымизначениями квадрата момента и одной из его компонент, обычно 15013-162.jpgЭти О. как коммутирующие друг с другом имеют общую систему собств. ф-ции [сферическиефункции Yim15013-163.jpg где 15013-164.jpgи 15013-165.jpg -угл. переменные сферич. координат] и характеризуются собств. значениями 15013-166.jpgи 15013-167.jpg где l =0,1, 2,... и т = - l, - l +1, ..., l - соответственноорбит. и магн. квантовые числа. Если частица движется в центрально-симметричномполе U(r)= U(| r |), то 15013-168.jpgобразуют полный набор коммутирующих О. для данной системы с общей системойсобств. ф-ций 15013-169.jpgпричём l определяет не только величину М2 (и наряду с гл. квантовым числом п энергетич. состояние системы),но и пространственную чётность состояния, характеризующую изменениеволновой ф-ции при инверсии координат,15013-170.jpg15013-171.jpg(15013-172.jpg - О. инверсии),т. е. чётность состояния совпадает с чётностью l.

Импульсное представление. Если разложить 15013-173.jpgпо собств. ф-циям 15013-174.jpgО. импульса:

15013-175.jpg

то волновой ф-цией системы в импульсномпредставлении (в к-ром квадрат её модуля определяет распределение плотностивероятности распределения по р )будет её фурье-образ Ф ( р). В соответствии с этим преобразованием О. координаты становится дифференциальным, <а О. импульса - О. умножения:

15013-176.jpg

Нормированные на 15013-177.jpg -функциюсобств. ф-ции этих О. имеют вид

15013-178.jpg

О. динамич. величин 15013-179.jpgопределяются как

15013-180.jpg

Матричное представление. Рассмотренныевыше представления являются частными случаями, когда в качестве системыбазисных ф-ций {15013-181.jpg( х)}выбиралисьсобств. ф-ции координаты или импульса. В общем случае волновая ф-ция системы 15013-182.jpg(x,t )можетбыть задана совокупностью компонент Ф(t) = {Ф n(t)} впространстве с достаточно произвольно выбранным базисом {15013-183.jpg(t)},15013-184.jpg
причём величины |Ф n(t)|2 определяют вероятности обнаружить систему в каждом из состояний 15013-185.jpg( х). Представляя 15013-186.jpg(x,t )ввиде столбца из её компонент {Ф n(0)} [сопряжённую ей- в виде строки из элементов Ф n(t)] а 15013-187.jpgв виде квадратной матрицы

15013-188.jpg

можно записать результат действия этогоО.15013-189.jpg15013-190.jpgв виде алгебраич. соотношений, определяющих изменённые в результате поворотавектора Ф(t) значения компонент Ф'(t) через их исходные значения:

15013-191.jpg15013-192.jpg

Матричные представления могут быть дискретными, <непрерывными (как в случаях координатного и импульсного представления)и смешанного типа, когда часть квантовых чисел, входящих в n, дискретна, <часть непрерывна. Приведём неск. общих соотношений в матричном выражении. <Алгебраич. действия над О.:

15013-193.jpg

15013-194.jpg

условие самосопряжённости 15013-195.jpg:

15013-196.jpg

единичный О.15013-197.jpg[в случае дискретного спектра 15013-198.jpgгде 15013-199.jpg- Кронекера символ, в случае непрерывного спектра 15013-200.jpg( п- т)=15013-201.jpg( п- m), где 15013-202.jpg( п- т) - дираковская 15013-203.jpg -функция];ф-ла для ср. значений:

15013-204.jpg

Проблема расчёта собств. значении и собств. <ф-ций сводится к решению системы однородных относительно компонент Ф n ур-ний

15013-205.jpg

причём условие существования нетривиальногорешения для {Ф n}

15013-206.jpg

является ур-нием (степени, равной рангуматриц, фигурирующих в данном представлении), определяющим спектр собств. <значений {fn}.
Если в качестве базиса {15013-207.jpg( х)}выбранасистема собств. ф-ции О.15013-208.jpgто его матричное представление диагонально,15013-209.jpgпоэтому проблему определения собств. ф-ций и собств. значений нек-рогоО. или неск. коммутирующих друг с другом О. можно представить как проблемуодноврем. диагонализации их матричных представлений.
Если в качестве базисных ф-ций {15013-210.jpg( х)}используютсясобств. ф-ции оператора Гамильтона,15013-211.jpgто говорят об энергетич. представлении О. и ф-ций состояния. Однако собств. <ф-ции О.15013-212.jpgкак правило, неизвестны. Поэтому в ряде случаев в качестве системы базисныхф-ций 15013-213.jpgвыбирают собств. ф-ции той части 15013-214.jpgполного гамильтониана 15013-215.jpgдля к-рой удаётся получить точное решение для собств. ф-ций и собств. значений,15013-216.jpgи затем уже в этом матричном представлении развивают теорию возмущенийпо параметру, к-рому пропорц. часть 15013-217.jpgкак для расчёта собств. значений 15013-218.jpgполного 15013-219.jpgтак и его собств. ф-ций.
Матричное представление является органичнымдля О. момента ввиду дискретности квантовых чисел l и m.Т. к. каждому l соответствует 2l+ 1 значений числа т, тособств. ф-ции О.15013-220.jpgи 15013-221.jpg представляютсястолбцами, а О. момента - матрицами (2l+ 1)-ранга, ненулевые элементык-рых определяются ф-лами

15013-222.jpg

Эти же соотношения справедливы и для О. <полного момента 15013-223.jpgвключающего помимо О. орбит, момента 15013-224.jpgтакже и О. спина 15013-225.jpg (для к-рого нематричного представления просто не существует), причём квантовоечисло j, заменяющее в этом случае l в приведённых выше ф-лах, <принимает ряд целых или полуцелых значении, а число т= - j,-j+ 1,...,j пробегает 2j + 1 значений.
Общие ф-лы для О. момента определяют такжеи О. спинового момента частицы 15013-226.jpgТак, для частиц со cпином 1/2 О. спина 15013-227.jpgгде 15013-228.jpg- двухрядные Паули матрицы. Поэтому и состояние электрона (в нерелятивистскойтеории) будет описываться соответственно двухкомпопентной волновой ф-цией[ причём помимо классич. замены в гамильтониане этой системы р-> р - ( е/с) А он должен быть дополнен энергиейвзаимодействия -15013-229.jpgсобств. магн. момента электрона 15013-230.jpgвнеш. магн. полем 15013-231.jpg(r,t.)].Врелятивистской теории электрона состояние частицы описывается четырёхкомпонентнойволновой ф-цией (не исключено матричное представление для каждой из них)в соответствии с разл. спиновыми состояниями электрона и состояниями частицаи античастица, а О. выражается четырёхрядными матрицами, элементы к-рыхсами могут быть О. в к.-л. x -представлении. Простейшие примеры полныхнаборов коммутирующих О. для случая свободного движения электрона: гамильтониан 15013-232.jpgимпульс, проекция спина на направление импульса 15013-233.jpgгде 15013-234.jpg15013-235.jpgа 15013-236.jpg15013-237.jpg- четырёхрядные Дирака матрицы; или О.15013-238.jpgD,15013-239.jpg,15013-240.jpgиО. инверсии 15013-241.jpgСобств. ф-ции при первом выборе характеризуются плоскими волнами (с импульсомр), проекцией спина s =15013-242.jpg1/2 и энергией 15013-243.jpgпри втором - сферич. волнами, числами j, т и l (чётность).При движении электрона в центрально-симметричном поле U(|r| )системойкоммутирующих О., полностью определяющих состояние системы, являются гамильтониан 15013-244.jpg15013-245.jpgО. квадрата полного момента 15013-246.jpg,его проекции 15013-247.jpgи чётности 15013-248.jpgДля частиц со спином 1 необходимо использовать уже как минимум трёхрядныематрицы и т. д.

Представление вторичного квантования эффективно при рассмотрении систем, состоящих из большого числа одинаковыхчастиц (проблема мн. тел в статистич. механике; см. Квантовая теориямногих частиц), или систем, допускающих существование любогочисла частиц одного и того же сорта (см. Квантовая теория поля), иявляется одним из наиб. естеств. способов учёта свойств симметрии волновыхф-ций системы по отношению к перестановкам одинаковых частиц. В основесвоей - это матричное представление, для формулирования к-рого используются N -частичныебазисные ф-ции с определённым типом симметрии 15013-249.jpg( х), сконструированныекак симметризов. или аитисимметризов. произведения одночастичных ф-ций 15013-250.jpg (чаще всего для этого используются известные решения задач на свободноедвижение частицы данного типа), где х = хl, ..., х N,а в наборе квантовых чисел п={...,nf,...} каждоеиз nf указывает, сколько раз в структуре данной базиснойф-ции встречается ф-ция 15013-251.jpgс данным индексом f. Числа nf наз. числамизаполнения (очевидно, а базисные ф-ции обычно обозначают 15013-252.jpgсимволами 15013-253.jpg( х)= |.... nf, ... >, введёнными П. А. М. Дираком (Р.A. М. Dirac), при этом 15013-254.jpg15013-255.jpgОтличие систем, симметричных и антисимметричных по отношению к перестановкамдвух частиц, проявляется в том, что в первом случае (бозе-частицы) nf могутпринимать любые целые неотрицат. значения, а во втором (ферми-частпцы)- только 0 и 1. Это ограничение на числа заполнения для ферми-систем выражает Паулипринцип. О. динамич. величин, представленные соответствующими матрицами<...nf, ... ... |F| ..., n'f,...>, действуя на волновую ф-цию, имеющую в этом представлении вид векторас компонентами Ф(...,nf ,...), характеризуемыми определённыминаборами чисел nf, "перепутывают" эти наборы. Иными словами, <вместо нек-рого Ф(...,nf,...) в результате действия О.F появляется амплитуда Ф(...,nf',...), к-рая характеризуетсяуже другими, изменёнными числами заполнения тех же состояний f,т. е. О. в этом представлении меняют числа частиц в каждом из состоящих f.Удобно рассматривать "элементарные" О., изменяющие на единицу к.-л. изчисел заполнения nf, т. и. О. рождения и О. уничтожениячастицы в состоянии f, и с их помощью выражать более сложные О.F. Действие каждого такого О. рождения и уничтожения меняет на единицуне только определённое число nf, но и общее число частиц N. Т. о., для использования формализма вторичного квантования необходимооперировать с бесконечным набором пространств и соответствующих им базисныхсистем ф-ций [..., nf ,...> для всех значений общегочисла N от нуля до бесконечности. Конкретный результат действия элементарныхО. на эти базисные ф-ции определяется с помощью непосредств. расчёта соответствующихматричных элементов. Действие их на |..., nf,...> вслучае бозе-систем можно представить в виде

15013-256.jpg

для О. уничтожения af и

15013-257.jpg

для О. рождения а f+, причем ни а f, ни а f+ недействуют на числа nf', если f '15013-258.jpgf.Отсюда следуют перестановочные соотношения

15013-259.jpg

15013-260.jpg

В случае ферми-систем а f и а f+ имеют тот же смысл О. изменения на единицучисла nf, но учёт антисимметрии базисных ф-ций по отношениюк перестановкам индексов частиц и ограничение чисел заполнения двумя значениямиО, 1 приводят к перестановочным соотношениям антикоммутации:

15013-261.jpg

15013-262.jpg

В ряде задач, когда гамильтониан системыцеликом выражается в терминах спиновых О., удобны О. рождения и уничтоженияс коммутац. соотношениями смешанного типа:

15013-263.jpg15013-264.jpg

По своей матем. природе они тождественныбозе-O., но действуют в урезанном пространстве чисел заполнения, допускающемзначения nf =0 и nf=1. Их называютпаули - О., т. к. они непосредственно связаны со спиновыми матрицами Паули:

15013-265.jpg

Во всех случаях О. nf = а f+ а f является О. числа частиц в состоянии f и имеетсобств. значения nf= 0, 1, 2, ... для бозе-систем и nf= 0, 1 для ферми- и паули-систем.
Чаще всего в приложениях индекс f означает импульс и спин f = ( р,15013-266.jpg )частицы, <т. е. в качестве базисных ф-ций |..., nf,... > выбираютсясимметризов. или антисимметризов. произведения ф-ций 15013-267.jpgгде 15013-268.jpg- плоская волна (V - объём

системы),15013-269.jpg- спиновая ф-ция. Тогда а f+ и af- О. рождения и уничтожения частицы с данным значением импульса и спина. <Возможно и "координатное" (или к.-л. иное) представление этих О., определяемоес помощью преобразования типа фурье-преобразования:

15013-270.jpg

О. дпнамич. величин в представлении вторичногоквантования строятся след. образом: величинам аддитивного динамич. типа, <таким, что 15013-271.jpg (напр., полный импульс системы из N частиц, <их полная кинетич. энергия, <энергия взаимодействия с внеш. полем и т. д.) соответствуют О.

15013-272.jpg

где <f|F|f' > - О.15013-273.jpgв f -представлении, матричные элементы к-рого рассчитываются с помощьюф-ций 15013-274.jpg величинамбинарного типа 15013-275.jpg (напр., энергии взаимодействия частиц друг с другом) соответствуют О.

15013-276.jpg

где < f1f2|G|f'1f'2- матричный элемент О.15013-277.jpgв f -представлении, <рассчитанный с помощью системы ф-ций 15013-278.jpgи т. д.
Напр., гамильтониан системы нерелятивистскихчастиц с центр. их взаимодействием Ф(ri,rj)= Ф(ri - rj), находящихсяво внеш. поле U(r), в представлении вторичного квантования имеетвид

15013-279.jpg

где 15013-280.jpgи 15013-281.jpg -фурье-образы потенциалов Ф и U, причём для частиц со спином нижнийиндекс у а + и а помимо волнового вектора k включает и спиновый индекс s:15013-282.jpg ит. д. Каждое слагаемое этого О. имеет наглядный смысл: общая кинетич. энергияпредставлена как сумма по всем k кинетич. энергий 15013-283.jpgумноженных на числа частиц ak+ak=nk с этой энергией, каждое слагаемое из второйсуммы учитывает рассеяние частицы k - > k +15013-284.jpgна фурье-компоненте внеш. поля 15013-285.jpgа из третьей суммы - рассеяние двух частиц (k,k') - > (k+ x,k'-15013-286.jpg )на фурье-компоненте потенциала их взаимодействия 15013-287.jpg
Помимо модели прямого взаимодействия частиц, <возможной только в нерелятивистской теории, рассматривается взаимодействиечастиц с разл. полями, переносящими это взаимодействие: в электродинамикес эл.-магн. полем (полем фотонов), в статистич. физике - с полем фононови т. д. В гамильтониан системы в этом случае необходимо добавить свободнуюэнергию этого поля 15013-288.jpgи О. взаимодействия его с частицами системы, <имеющий вид

15013-289.jpg

причём элементарный акт этого взаимодействияимеет характер рассеяния частицы с испусканием (или поглощением) квантаполя b. Подобные наглядные представления о взаимодействии послужилиодним из стимулов развития диаграммной техники в квантовой теории поляи в квантовой статистике.

О. энергии и производные О. по времени. В квантовой теории О. энергии определяется как первая производная повремени,15013-290.jpgС его помощью записывается ур-ние Шрёдингера - осн. ур-ние квантовой механики, <являющееся ур-нием движения для волновой ф-цип,15013-291.jpgПосле подстановки 15013-292.jpg15013-293.jpgоно превращается в ур-ние на собств. значения гамильтониана,15013-294.jpgи определяет стационарные состояния системы. О. производной по времени 15013-295.jpgфиз. величины F определяется в соответствии с ур-нием движения для 15013-296.jpgкак

15013-297.jpg

что позволяет определять в квантовой механикеО. величин типа скоростей, ускорений и т. д. Если величина F независит явно от времени и коммутатор 15013-298.jpgто эта величина является интегралом движения.
В релятивистской теории помимо ур-ний, <содержащих О.15013-299.jpgвпервой степени, напр. Дирака уравнение 15013-300.jpg используются ур-ния второго порядка по 15013-301.jpg( Клейна- Гордона уравнение],15013-302.jpg для однокомпонентной 15013-303.jpg -функциичастицы без спина, а также для векторных 4-компонентных ф-ций и тензорныхболее высокого ранга. Оператор 15013-304.jpgможно рассматривать как нулевую компоненту релятивистского О. энергии-импульса 15013-305.jpg15013-306.jpg= 0,1,2,3, что позволяет использовать для релятивистских ур-ний удобнуюлоренц-ковариантную запись.
Различные временные представления О. Рассмотреннаявыше схема квантовой теории, когда не зависящей от времени динамич. величине F ставится в соответствие также не зависящий от . О.15013-307.jpgаэволюция системы целиком определяется поведением волновой ф-ции, подчиняющейсяур-нию Шрёдингера, формальное решение к-рого можно представить как

15013-308.jpg

наз. Шрёдингера представлением дляО. и ф-ций состояния. Из возможных др. временных представлений отметимдва, широко используемых в квантовой теории. В Гейзенберга представлении 15013-309.jpg -функцияявляется пост. вектором; полагая в приведённой выше ф-ле t0=0,можно представить эту ф-цию как нач. значение рассмотренной ранее 15013-310.jpg=15013-311.jpgазависимость от t переносится на О. динамич. величин:

15013-312.jpg ур-ниедвижения для к-рых имеет вид 15013-313.jpg
Для построения взаимодействия представление существенно разделение 15013-314.jpgна части,15013-315.jpgсвязанное обычно с применением теории возмущений. В атом временном представлениизависимость 15013-316.jpgот . определяетсяс помощью нулевого гамильтониана:

15013-317.jpg аэволюция волновой ф-ции 15013-318.jpgопределяется О.15013-319.jpg

15013-320.jpg

причём формальное решение этого ур-нияможно записать как

15013-321.jpg

где оператор S -матрицы (наз. матрицейрассеяния)

15013-322.jpg

Матрица плотности, матрица рассеянияи другие О.

Наряду с О., непосредственно связаннымис определёнными физ. переменными, в квантовой теории используются О., к-рыеопределяют все свойства системы, включая её состояние, или ряд её свойств. <Выше предполагалось, что состояние кваитовомеханич. системы фиксируетсяс помощью волновой ф-ции, представляемой вектором Ф(t) = {Ф n(t)}.Если этому т. н. чистому состоянию поставить в соответствие О.15013-323.jpgс матричными элементами <n|р| <<т> = Ф n*(t)Ф m(t),то ср. значения физ. величины F запишутся как

15013-324.jpg

а сам О. p(t) в соответствии с ур-ниемШрёдингера для Ф(t )будет удовлетворять ур-нию

15013-325.jpg

и иметь формальное решение в виде

15013-326.jpg

О. р наз. матрицей плотности. Онхарактеризует систему и в случаях, когда она находится в т. н. смешанномсостоянии, что существенно, напр.. при рассмотрении статистич. систем. <Матричное представление О. р может быть определено в смешанном представлении(напр., в координатно-импульсном), что невозможно в традиц. квантовой механике, <оперирующей с чистыми квантовомеханич. состояниями. О.15013-327.jpgдопускает помимо шрёдиигеровского и иные временные представления.
О. S -матрицы (и его модификаций, <включая температурные варианты) определяет изменение свойств системы поотношению к нек-рому известному "исходному" состоянию, напр. к состояниюс "выключенным" взаимодействием частиц 15013-328.jpg (для этого в 15013-329.jpgдобавляют фактор ехр{ -15013-330.jpg|t|},15013-331.jpg -> 0, обеспечивающий выключение взаимодействия при t - >15013-333.jpg).Тогда для конечного t (t0- > -15013-334.jpg )введённый ранее О. можно представить как бесконечный ряд, записываемыйусловно в виде т. н. Т -экспоненты, т. е. упорядоченного по временнымаргументам (см. Хронологическое произведение )степенного её разложения:

15013-335.jpg

Этот ряд служит основой для построенияприближений в рамках теории возмущений по 15013-336.jpg
О. t-матрицы, родственной О. S, на простейшем примере задачи двух тел (задачи рассеяния) модифицирует падающуюиз бесконечности на рассеивающий центр H1 = Ф(r )плоскуюволну 15013-337.jpgв расходящуюся волну 15013-338.jpg (в соответствии с граничными условиями квантовомеханич. задачи рассеяния),так что 15013-339.jpgУр-ние Шрёдингера, записанное в терминах t-О., и его формальное решениеимеют вид

15013-340.jpg15013-341.jpg

В случаях, когда потенциал Ф(r )не имеет фурье-образа (напр., прп взаимодействии твёрдых сфер конечногорадиуса), а использование импульсного варианта представления вторичногоквантования всё же рационально, импульсное представление t-О. <заменяет несуществующуювеличину v(q), причём при малых передачах импульса |q|матричный элемент t-О. <выходит на константу, пропорц. длине рассеянияа:

15013-342.jpg

О. преобразований. В квантовой теории такиеО. широко используются для осуществления переходов к др. представлениями координатам, для трансляций и поворотов в разл. пространствах, сдвигаво времени, дискретных преобразований самого разного физ. содержания. Рассмотримнек-рые из них.
Пусть 15013-343.jpg- система базисных ф-ций, определяющих нек-рое n -представление О. <и волновых ф-ций, а 15013-344.jpg- др. базисная система, соответствующая 15013-345.jpg -представлению. <Переход от одной системы к другой

15013-346.jpg

где 15013-347.jpgможно символически записать с помощью линейного унитарного О. U, матричноепредставление к-рого приведено выше, как 15013-348.jpgУсловие унитарности U+U = I является следствием ортонормироваиностибазисных ф-ций 15013-349.jpgи 15013-350.jpg Т. <к. обратный О. U-1= U+, тообратное преобразование имеет вид 15013-351.jpgОбозначаясимволом F матричное представление О.15013-352.jpgв т -представлепии <n|F|n'> и символом 15013-353.jpgматрицу 15013-354.jpg, будем иметь в компактной записи правило преобразования О. динамич. переменнойот одного представления к другому в виде F'= U+FU. Преобразованиеф-ции состояния, определяемой в n -представлении совокупностью компонентФ = {Ф n}, а в 15013-355.jpg -представлении- совокупностью штрихованных компонент Ф' =15013-356.jpgзаписывается как Ф' = U+ Ф.
Унитарные преобразования . сохраняютнормировку волновых ф-ций, свойство их ортогональности, порядок действияО. дниамич. величин, сумму их диагональных элементов

15013-357.jpg

и т. д. Проблему определения собств. значенийО. F можно свести к проблеме построения такого О. U, к-рыйпревращал бы матрицу <n|F|n'> в диагональную:

15013-358.jpg

Примеры О. преобразований приводились выше. <Так, переход к представлению Гейзенберга осуществлялся с помощью О.15013-359.jpgк представлению взаимодействия - с помощью 15013-360.jpgпереход от координатного представления к импульсному (в одномерном случае)производится с помощью непрерывной матрицы 15013-361.jpgи т. д.
О. U используются при преобразованиисистем координат. При рассмотрении непрерывных преобразований (сдвиг, вращение)достаточно ограничиться бесконечно малым преобразованием данного типа. <Напр., О. бесконечно малого смещения координат непосредственноопределяетсяпервыми членами разложения ф-ции 15013-362.jpgв ряд Тейлора:

15013-363.jpg

откуда для О. конечной трансляции 15013-364.jpgполучаем 15013-365.jpgАиалогичная процедура с бесконечно малым смещением во времени приводитдля конечного сдвига на 15013-366.jpg известному результату:

15013-367.jpg

[в представлении взаимодействия 15013-368.jpgгде S(t1,t2) - S -матрица].При бесконечно малом повороте на угол 15013-369.jpgна скалярную ф-цию 15013-370.jpg(r )действуетО.15013-371.jpgа для частицы со спиом О.15013-372.jpg
О. конечного поворота, как видно из этихф-л, представляются матрицами (2j + 1)-го ранга. В релятивистскойтеории при бесконечно малых поворотах в четырёхмерном пространстве на угол 15013-373.jpg (при Лоренца преобразованиях)15013-374.jpg О. <преобразования ф-ции состояния можно записать как U =1/215013-375.jpgгде для четырёхкомпонентной ф-ции фермиона 15013-376.jpgО.15013-377.jpgцеликом выражается с помощью Дирака матриц 15013-379.jpg в виде 15013-380.jpg15013-378.jpg
Дискретные преобразования . связаныне только с преобразованиями типа отражений в пространстве и времени, нои с изменением дискретных величин, таких как электрич. заряд, барионноечисло, странность, очарование, цвет и т. д. Приведём примеры О. дискретныхпреобразований, использующихся в теории релятивистских фермн-частиц, к-рыенесложным образом выражаются через 15013-381.jpg: пространственнаяинверсия (r' -r, х'0= х 0)- U =15013-382.jpgобращение времени (r' - r, х'= - х 0)-U=15013-383.jpg полнаяинверсия (r' - > - r, х' о = -х 0) - U -15013-384.jpg где 15013-385.jpgВозможны и др. законы преобразования ксипри отражениях; напр.,при r' - > - r возможны (помимо упомянутого)ещё три варианта преобразования волновой ф-ции:15013-386.jpgU=15013-387.jpg (такпреобразующиеся при отражениях 15013-388.jpg -функцииназ. псевдоспинорами). Аналогичные варианты существуют и для законов преобразованийпри др. отражениях. К дискретным преобразованиям примыкает операция зарядовогосопряжения, имеющая вид 15013-389.jpg

О. перестановок. Такие О. необходимыпри рассмотрении систем двух и более одинаковых частиц. С помощью простейшегоО. перестановки индексов двух частиц
15013-390.jpg

можно построить любой О. перестановки 15013-391.jpgэтих индексов, представив его как произведение парных перестановок:15013-392.jpgОператор 15013-393.jpgлинеен,

15013-394.jpg

симметричен,15013-395.jpgсовпадает с обратным,15013-396.jpg15013-397.jpgунитарен,15013-398.jpgТ. к. в системе одинаковых частиц О. перестановки их индексов не изменяетни О. динамич. величии (в частности, гамильтониана системы 15013-399.jpg,т. е.15013-400.jpg=0), ни граничных и др. дополнит. условий, то волновые ф-ции 15013-401.jpgи 15013-402.jpg отличающиесярасположением двух индексов частиц у их аргументов, удовлетворяющие однойи той же системе ур-ний и дополнит. условий, описывают одно и то же микроскопия, <состояние, т. е.15013-403.jpgгде 15013-404.jpg= схр {i15013-405.jpg}- фазовый множитель. Повторное применение к этому соотношению О.15013-406.jpgопределяет для собств. значения 15013-407.jpgО.15013-408.jpgусловие 15013-409.jpg= 1, т. е.15013-410.jpg- ф-ция состояния системы одинаковых частиц по отношению к перестановкамих индексов либо симметрична,15013-411.jpg (случай системы бозе-частиц), либо антисимметрична,15013-412.jpg (случай системы ферми-частиц), где 15013-413.jpg- число парных перестановок 15013-414.jpgна к-рые распадается данная перестановка 15013-415.jpgПри этом ввиду того, что 15013-416.jpg=0, характер симметрии волновой ф-ции является пост. свойством данной системы.
Для двух ферми-частиц О. перестановкиимеет вид 15013-417.jpgгде 15013-418.jpg- соответственно О. обмена спинами, зарядами и координатами. Т. к. дляферми-систем 15013-419.jpg=-1, то для О. перестановки фермионов местами 15013-420.jpg
где 15013-421.jpg15013-422.jpg15013-423.jpg- матрицы Паули, действующие на спиновые переменные каждой из частиц, а 15013-424.jpg,15013-425.jpg- совпадающие по виду с матрицами Паули операторы изотопического спина.
О. проектирования вводятся при необходимостивыделить из всего класса допустимых волновых ф-ций 15013-426.jpg( х )подпространство ф-ций 15013-427.jpg( х), удовлетворяющихопределённым дополнит. требованиям (напр., подпространство ф-ций с к.-л. <дополнит. ограничением на числа заполнения или ф-ций, ортогональных к заданной, <и т. д.). Вследствие принципа суперпозиции любую 15013-428.jpg( х )можнопредставить как 15013-429.jpgи выделить первое слагаемое с помощью проекционного О.15013-430.jpgопределив его как 15013-431.jpgгде

15013-432.jpg

Из свойств 15013-433.jpgотметим его линейность и свойство 15013-434.jpg15013-435.jpgВвиду отсутствия взаимной однозначности в сопоставлении 15013-436.jpgО. проектирования 15013-437.jpgне имеет обратного себе О.15013-438.jpgСледует отметить, что О. матрицы плотности 15013-439.jpgпо природе своей является проекционным О. - для чистого состояния Ф, когда <п'15013-440.jpgп>==15013-441.jpg онпросто совпадает с О. проектирования на это состояние: РФ =15013-442.jpg

Лит. см. при ст. Квантовая механика, <Квантовая теория многих частиц, Квантовая теория поля, Квантовая хромодинамика.

И. А. Квасников.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "ОПЕРАТОРЫ" в других словарях:

  • ОПЕРАТОРЫ — маклеры, агенты по обмену валюты; брокеры, дилеры, зани мающиеся биржевыми, коммерческими и финансовыми операциями на профессио нальной основе. Словарь финансовых терминов …   Финансовый словарь

  • Операторы — Оператор (позднелат. operator  работник, исполнитель, от operor  работаю, действую)  то же, что отображение. Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают… …   Википедия

  • Операторы —         в квантовой теории, математическое понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики (См. Квантовая механика) и квантовой теории поля (См. Квантовая теория поля) и служащее для сопоставления определённому вектору… …   Большая советская энциклопедия

  • Операторы городских платных парковок — организации, осуществляющие эксплуатацию парковок, расчеты с водителями, пользующимися территорией парковок... Источник: ПОСТАНОВЛЕНИЕ Правительства Москвы от 01.11.2005 N 854 ПП О СОЗДАНИИ, ОБУСТРОЙСТВЕ, ОБСЛУЖИВАНИИ И ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГОРОДСКИХ… …   Официальная терминология

  • Операторы железнодорожных паромов и паромных причалов — юридические или физические лица, осуществляющие эксплуатацию специализированного судна, имеющего железнодорожные рельсовые пути и предназначенного для перевозки железнодорожного подвижного состава в груженом или порожнем состоянии, а также… …   Официальная терминология

  • Операторы (экономические) — [economic operators] то же, что управляющие параметры или инструментальные переменные в моделях экономических систем …   Экономико-математический словарь

  • операторы (экономические) — То же, что управляющие параметры или инструментальные переменные в моделях экономических систем. [http://slovar lopatnikov.ru/] Тематики экономика EN economic operators …   Справочник технического переводчика

  • операторы упорядочения — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN ordering operators …   Справочник технического переводчика

  • операторы, занимающие существенное положение в сети связи (общего пользования) — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN incumbent operator …   Справочник технического переводчика

  • ОПЕРАТОРЫ ПОЧТОВОЙ СВЯЗИ — организации почтовой связи и индивидуальные предприниматели, имеющие право на оказание услуг почтовой связи …   Юридическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ОПЕРАТОРЫ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.