ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

в собственном смысле - двоякопериодическая функция, мероморфная в конечной плоскости комплексного переменного г. Э. ф. обладают следующими основными свойствами.
Не существует целых Э. ф., кроме констант (теорема Лиувилля).

Пусть - примитивные периоды Э. ф. f(z), Сумма вычетов всех полюсов f(z) в ее параллелограмме периодов
равна нулю.
Пусть r - число полюсов (с учетом их кратности) Э. ф. f(z) в параллелограмме периодов Тогда f(z) принимает в каждое конечное значение с учетом кратности в точности rраз. Число r наз. порядком Э. ф. Не существует Э. ф., порядок к-рых меньше 2.
Если a_i и b_i, i=l, . . ., r,- все нули и полюсы Э. ф. f(z) в ее параллелограмме периодов с учетом их кратности, то сумма

сравнима с нулем по модулю периодов, т. е.

где m₁, т ₃ - целые числа (частный случай теоремы Абеля, см. Абелева функция).
Все Э. ф. с фиксированными примитивными периодами образуют алгебраич. поле Э. ф. с двумя образующими. В качестве этих образующих можно взять, напр., функцию Вейерштрасса и ее производную (см. Вейерштрасса эллиптические функции).
Производная Э. ф. является в свою очередь Э. ф. того же порядка с теми же периодами. Каждая Э. ф. удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Каждая Э. ф. f(z) допускает алгебраическую теорему сложения, т. е. значения f(z₁), f(z₂), f(z₁+z₂) связаны неприводимым алгебраич. уравнением с постоянными коэффициентами. Обратно, имеет место теорема Beйерштрасса: всякая аналитич. ция f(z), допускающая алгебраич. теорему сложения, либо является рациональной функцией от г или от е ^z, либо есть Э. ф.
Иногда применяется более общая терминология, связанная с теорией тета-функций. Э. ф. III рода наз. всякая мероморфная функция f(z), удовлетворяющая функциональному уравнению

где а _i, b_i - нек-рые постоянные. Если a₁=a₃=0, то f(z) наз. Э. ф. II рода. Если а ₁=a₃=b₁=b₃=0, то f(z) наа. Э. ф. I рода, или Э. ф. в собственном смысле. По атой терминологии тета-функций Якоби (см. Якоби эллиптические функции )и сигма-функции Вейерштрасса (см. Вейерштрасса эллиптические функции) суть Э. ф. III рода.
Впервые эллиптические интегралы исследовались в работах ученых кон. 17 - нач. 19 вв. Я. Бернулли (J.Bernoulli), И. Вернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлера (L. Euler), А. Лежандра (A. Legendre) конца 17-начала 19 вв. Эти интегралы появились в задачах вычисления длины дуги эллипса и других кривых 2-го порядка. Они имеют вид где R - рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением

в к-ром справа стоит многочлен 4-й или 3-й степени без кратных корней. Подынтегральная функция однозначна на двулистной компактной римановой поверхности Fрода g=l с четырьмя точками ветвления. Дифференциалы I, II и III рода на F(см. Дифференциал на римановой поверхности )порождают соответственно эллиптич. интегралы I, II и III рода. Интеграл I рода является главной униформизирующей поверхности . и поля алгебраич. функций, порождаемых F. Если принять его за независимую переменную, то это поле переходит в поле Э. ф.
Идея непосредственного обращения эллиптич. интегралов в нормальной форме Лежандра возникла и была развита в работах Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi) в нач. 19 в. Развитое К. Якоби построение Э. ф. на основе тета-функций имеет основное значение для приложений Э. ф. Теоретически более простое построение поля Э. ф., при к-ром в качестве образующих берутся функция и ее производная, было дано К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) в 70-х гг. 19 в.
При развитии теории Э. ф. одной из основных является проблема преобразования Э. ф. и связанных с ними величин при переходе от примитивных периодов к другим примитивным периодам связанным соотношениями
где - целые числа такие, что - натуральное число, называемое порядком преобразования. Площадь параллелограмма периодов в праз больше площади параллелограмма периодов При п=1 получаются преобразования модулярной группы, откуда возникла связанная с Э. ф. теория модулярных функций.
Э. ф. можно трактовать как мероморфные функции, инвариантные относительно преобразований группы сдвигов

комплексной плоскости. Обобщение этого подхода привело к рассмотрению автоморфных функций, инвариантных относительно дробно-линейных отображений, составляющих группы более общей природы. Э. ф. и модулярные функции суть частные случаи автоморфных функций.
Обращение эллиптич. интегралов сразу же привело к Якоби проблеме обращения более общих абелевых интегралов где переменные z и w связаны произвольным алгебраич. уравнением. На этом пути получаются абелевы функции- обобщение Э. ф. на случай нескольких комплексных переменных.
Э. ф. и эллиптич. интегралы находят многочисленные применения (как специальные функции) во многих разделах анализа, как средство униформизации в алгебраич. геометрии, а также в механике, электродинамике и других прикладных областях.

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970: [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., ч. 2, М., 1968; [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [4] Журавский А. М., Справочник по эллиптическим функциям, М.- Л., 1941; [5] Кnneper A., Elliptische Functionen. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Halle, 1890; [6] Тannery J., Molk J., Elements de la theories desfonctions elliptiques, t. 1-4, P., 1893- 1902.
Е. Д. Соломенцев.