ЭКСТРЕМАЛЕЙ ПОЛЕ

- область (n+1)-мерного пространства переменных х, y_l, . . . , у _n, покрытая без пересечений n-рараметрич. семейством экстремалей функционала

где Аи В- начальные и конечные точки, через к-рые проходят экстремали семейства.
Различают случаи собственного (или общего) и центрального Э. п. Собственное Э. п. соответствует случаю, когда экстремали семейства трансверсальны нек-рой поверхности

т. е. на этой поверхности выполняются условия трансверсальности

Т. о., для собственного Э. п. точка . (или В)в (1) принадлежит поверхности (2) и в ней выполняются условия (3).
Центральное Э. п. соответствует случаю, кода экстремали семейства исходят из одной точки, находящейся вне поля, напр. из общей начальной точки А.
Наклоном Э. п. наз. вектор-функцию u( х, у)= (u₁(x,у), . . ., и _п( х, у)), относящую каждой точке ( х, у) =( х, y₁, . . ., у _n) поля вектор у' (х)= (у ₁' (х),..., y _п' (х)).
Для задач с подвижными концами, когда y(x) есть экстремаль, дифференциал интеграла (1) имеет вид

где дифференциалы dx и dy вычисляются вдоль линий смещения подвижных концов (х ₁, y(x₁)) и В(х ₂, у( х ₂)), а у'- угловой коэффициент касательной к экстремали y(х).
Выражение в квадратных скобках в (4) можно записать в виде

где

В Э. п. выражение (5) является полным дифференциалом нек-рой функции от х, y₁, . . . , у _n, поскольку имеют место равенства

Эта функция с точностью до постоянного слагаемого есть криволинейный интеграл

он наз. инвариантным интегралом Гильберта. В (6) через Собозначена произвольная кривая у(х), лежащая в Э. п. и соединяющая точки Аи В. Термин линвариантный