ЭКСТРЕМАЛЕЙ СЕМЕЙСТВО

- совокупность решений Эйлера уравнений, зависящая от ппроизвольных постоянных, заполняющая без взаимных пересечений нек-рую часть (n+1)-мерного пространства. Здесь п- число неизвестных функций у _i (х), i=l, . . . , п, от к-рых зависит минимизируемый функционал

а уравнение Эйлера понимается в векторном смысле, то есть представляет собой систему побыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

Ниже приводятся два способа построения Э. с.
Пусть рассматривается пучок экстремалей, выходящих из изданной точки M₀(x₀, y₀) в (п+1)-мерном пространстве. Если экстремали пучка взаимно не пересекаются в нек-рой окрестности точки М ₀ (кроме точки М ₀), то они в этой окрестности образуют семейство экстремалей (центральное Э. с.).
Другой способ построения экстремалей состоит в построении множества экстремален, трансверсальных к поверхности S₀, заданной в (n+1)-мерном пространстве уравнением
Если в каждой точке этой поверхности условия трансверсальности

представляющие совокупность пусловий, определяют значения ппроизводных y'_i, n=1, ... , п, то, принимая эти значения за начальные значения производных, можно через точку поверхности S₀ провести экстремаль, к-рая пересекается с поверхностью S₀ трансверсально. Если в окрестности этой поверхности указанные экстремали взаимно не пересекаются, то они образуют Э. с. (общее, или собственное Э. с.).
Построение Э. с. является исходным пунктом при рассмотрении вопросов, связанных с построением ноля экстремалей. Э. с. является полем экстремалей, если существует семейство поверхностей, зависящих от одного параметра и пересекающихся трансверсально с экстремалями семейства.

Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957.
И. В. Banняpcкuй.