ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
- ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
отображение касательного пространства многообразия Мв М, определяемое заданной на М связностью и являющееся далеко идущим обобщением обычной экспоненциальной функции, рассматриваемой как отображение прямой в себя.
1) Пусть М - многообразие класса 
с аффинной связностью, р - нек-рая точка из М, М р - касательное пространство к многообразию Мв точке ри X - ненулевой вектор из 
- геодезическая, проходящая через точку р в направлении вектора X. Существует такая открытая окрестность N0 точки 0 в М р и такая открытая окрестность N р точки рв М, что отображение 
является диффеоморфизмом N0 на N р. Это отображение называется Э. о. в точке р и обозначается Ехр. Окрестность N0 наз. нормальной, если: 1) отображение Ехр диффеоморфно отображает N0 на N р,2) если 
и 
то 
В этом случае N р - нормальная окрестность точки . в многообразии М. Каждая точка 
обладает выпуклой нормальной окрестностью N р точки р: любые две точки такой окрестности можно соединить в точности одним геодезич. отрезком, содержащимся в N р. Если М - полное риманово многообразие, то Ехр есть сюръективное отображение М р на М.
2)Пусть G- группа Ли с единицей еи g - соответствующая алгебра Ли, состоящая из касательных векторов к G в точке е. Для каждого вектора 
существует единственный аналитич. омоморфизм 
группы 
в Gтакой, что касательный вектор к 
в точке есовпадает с X. Отображение 
и наз. Э. о. алгебры gв группу G. Существует такая открытая окрестность N0 точки 0 в gи такая открытая окрестность N е точки ев G, что ехр является аналитич. диффеоморфизмом окрестности N0 на Ne. Пусть Х 1, ... , Х п - нек-рый базис алгебры g. Отображение 
есть система координат на Ne, эти координаты наз. каноническими.
К понятию Э. о. для группы Ли G можно подойти и с другой точки зрения. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех аффинных связностей на G, инвариантных относительно группы левых сдвигов, и множеством билинейных функций 
Оказывается, что Э. о. ехр алгебры gв группу G совпадают с отображением Ехр касательного пространства gк многообразию . в точке ев это многообразие относительно лсвоинвариантной аффинной связности, отвечающей любой кососимметричной билинейной функции 
Лит.:[1] Xелгасoн С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.
А. С. Феденко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ" в других словарях:
Экспоненциальное отображение — далеко идущее обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии. Для риманова многообразия экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения в само многообразие . Экспоненциальное отображение обычно обозначается , а его… … Википедия
ЛИ ГРУППА — группа G, обладающая такой структурой аналитического многообразия, что отображение прямого произведения в Gана литично. Другими словами, Ли г. это множество, наделенное согласованными структурами группы и аналитич. многообразия. Ли г. наз.… … Математическая энциклопедия
ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… … Физическая энциклопедия
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 … Математическая энциклопедия
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — геодезиче ская, геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Определения Г. л. в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный … Математическая энциклопедия
ЛИ ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ — гладкое действие связной группы Ли Gна гладком многообразии М, т. е. гладкое (класса ) отображение . такое, что: (е единица группы G). Ли г. п., удовлетворяющая также условию: наз. эффективной. Примеры Ли г. п. Любое гладкое линейное… … Математическая энциклопедия
Однопараметрическая подгруппа — группы Ли над нормированным полем аналитический гомоморфизм аддитивной группы поля в , то есть такое аналитическое отображение , что , для всех … Википедия
ЛИ РАЗРЕШИМАЯ ГРУППА — группа Ли, разрешимая как абстрактная группа. В дальнейшем рассматриваются вещественные или комплексные Ли р. г. Нильпотентная, в частности абелева, группа Ли разрешима. Если F={Vi} полный флаг в конечномерном векторном пространстве V(над или ),… … Математическая энциклопедия
ЛИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли типа (Е), конечномерная вещественная алгебра Ли для любого элемента Xк рой оператор присоединенного представления adX не имеет чисто мнимых собственных значений. Экспоненциальное отображение ехр : в соответствующую алгебре односвязную… … Математическая энциклопедия
ЛИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ГРУППА — группа Ли типа (Е), вещественная конечномерная группа Ли G, для к рой экспоненциальное отображение ехр: где алгебра Ли группы G, является диффеоморфизмом. Любая Ли э. г. разрешима, односвязна, а ее алгебра Ли является Ли экспоненциальной алгеброй … Математическая энциклопедия
