ЭЙЛЕРА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЭЙЛЕРА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

1) Э. п. рядов: если дан числовой ряд


то ряд

наа. рядом, полученным из ряда (1) Э. п. рядов. Здесь

Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд (2) и притом к той же сумме, что и ряд (1). Если ряд (2) сходится (в этом случае ряд (1) может расходиться), то ряд (1) наз. суммируемым по Эйлеру.
Если ряд (1) сходится, an>0, для всех k=0,1, 2, ... последовательность


монотонная и

то сходимость ряда (2) быстрее сходимости ряда (1) (см. Сходимость).

Л. Д, Кудрявцев.

2) Э. п.- интегральное преобразование вида


где С - контур в комплексной плоскости с. Предложено Л. Эйлером (L. Euler, 1769).
Э. п, применяется к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям

где Qj(z) - многочлен степени и - константа. В таком виде можно представить любое линейное уравнение


где Pj(z) - многочлены степени степень Pn(z) равна n. Уравнение


наз. преобразованием Эйлера уравнения (2), Если w(z)определена формулой (1), причем то справедливо тождество


при условии, что внеинтегральная подстановка, к-рая возникает при интегрировании по частям, обращается в нуль. Отсюда видно, что если M(v)=0, то w(z) - решение уравнения (2).
Э. п. позволяет понизить порядок уравнения (2), если при j>q, q<п. При q=0, q=1уравнение (2) интегрируется (см. Похгаммера уравнение).

Лит.:[1] Aйнс Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Харьков, 1939; [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. г. нем., 5 изд., М., 1976.
М. В. Федорюк.

3) Э. п. - 1-го рода - интегральное преобразование вида


где - комплексные переменные, причем путем интегрирования является отрезок
Э. п. 1-го рода наз. также дробным интегралом Римана - Лиувилля порядка m. (Иногда под интегралом Римана - Лиувилля понимают интеграл


где а - комплексное число.)
При нек-рых условиях на функции f(x),g(x) имеют место следующие равенства:


-комплексные постоянные,

Э. п. 2-го рода - интегральное преобразование вида

где - комплексные переменные, причем путем интегрирования является луч или При нек-рых условиях имеют место следующие равенства

- комплексные постоянные,

Э. п. 2-го рода иногда наз. дробным интегралом Bейля порядка
Указанные преобразования введены также для обобщенных функций.

Лит.:Брычков Ю. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования обобщенных функций, М., 1977.
Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "ЭЙЛЕРА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ" в других словарях:

  • Преобразование Фурье — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • Преобразование Лежандра — для заданной функции F(x) это построение функции F*(p), двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве V, её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве V*, т.е. на… …   Википедия

  • Эйлера числа — В комбинаторике числом Эйлера I рода из n по k, обозначаемым или E(n,k), называется количество перестановок порядка n с k подъёмами, то есть таких перестановок , что существует ровно k индексов j, для которых πj < πj + 1. Числа Эйлера I рода… …   Википедия

  • Преобразование Лапласа — Преобразование Лапласа  интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются… …   Википедия

  • Преобразование плоскости — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф …   Википедия

  • Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 …   Википедия

  • Интеграл Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 …   Википедия

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — функциональное преобразование вида где С конечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, К( х, t) ядро И. п. Наиболее часто рассматриваются И. п., для которых K(x,t)=K(xt )и С действительная ось или ее часть ( а, b). Если то И. п. наз.… …   Математическая энциклопедия

  • Фурье преобразование — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • Формула Эйлера — У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Формулы. Геометрический смысл формулы Эйлера Формула Эйлера на …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»