УПОРЯДОЧЕННОЕ КОЛЬЦО

УПОРЯДОЧЕННОЕ КОЛЬЦО

частично упорядоченное кольцо,- кольцо R(не обязательно ассоциативное), являющееся частично упорядоченной группой по сложению, в к-ром для любых a, b, неравенства и влекут за собой неравенства и Всякое кольцо является У. к. с тривиальным порядком. Примерами У. к. служат также упорядоченные поля;кольцо действительных функций на множестве X, где означает, что для всех кольцо матриц над У. к. R, где, по определению, если для всех i, j. Если Л - У. к., то множество


наз. его положительным конусом. Положительный конус У. к. однозначно определяет его порядок: тогда и только тогда, когда Подмножество Ркольца Rслужит положительным конусом для нек-рого порядка в том и только в том случае, когда

Равенство равносильно линейности этого порядка.
У. к., являющееся линейно упорядоченным множеством или решеткой (структурой), наз. соответственно линейно упорядоченным или структурно упорядоченным (решеточно упорядоченным) кольцом (см. также Архимедово кольцо). Решеточно упорядоченное кольцо оказывается дистрибутивной решеткой, а его аддитивная группа не имеет кручения (ср. Структурно упорядоченная группа). Нек-рые вопросы теории ассоциативных колец и, в частности, теория радикалов имеют аналоги в ассоциативных структурно У. к. Класс колец, допускающих превращение в структурно У. к., не аксиоматизируем. Если а, b, с - элементы структурно У. к. и то справедливы соотношения

Идеалы структурно У. к., являющиеся выпуклыми подгруппами аддитивной группы, наз. l-идеалами. Факторкольцо по l-идеалу естественным образом превращается в структурно У. к. Остается справедливой теорема о гомоморфизме.
Структурно У. к. Rназ. функциональным кольцом, или f-кольцом, если выполнено любое из следующих эквивалентных друг другу условий: (1) Rизоморфно структурно упорядоченному подкольцу прямого произведения линейно У. к.; (2) для любых справедлива импликация
(3) для любого подмножества множество является l-идеалом; (4) для любых
Условие (4) показывает, что f-кольца образуют многообразие сигнатуры Входящие в это условие равенства не вытекают одно из другого. Не всякое f-кольцо вложимо в f-кольцо с единицей. Если а, b, с - элементы f-кольца и то справедливы соотношения

а также импликация Порядок У. к. R с положительным конусом Рможно продолжить до линейного так, что Rстановится линейно У. к. в том и только в том случае, когда для любого конечного множества a1, ... , an из R можно выбрать или -1 так, что в полукольце, порожденном конусом Ри элементами сумма любых двух ненулевых элементов отлична от нуля. При Р={0} получается критерий возможности превращения данного кольца в линейно упорядоченное.

Лит.:[1] Биркгоф Г., Теория решеток, пер. с англ., М., 1984; [2] Виноградов А. А., лМатем. заметки


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "УПОРЯДОЧЕННОЕ КОЛЬЦО" в других словарях:

  • УПОРЯДОЧЕННОЕ ПОЛЕ — линейно упорядоченное кольцо, являющееся полем. Классич. пример поле действительных чисел с обычным порядком. Напротив, поле комплексных чисел не может быть превращено в У. п., поскольку поле допускает порядок, превращающий его в У. п., тогда и… …   Математическая энциклопедия

  • Упорядоченное — Упорядоченное  фантастическая вселенная из произведений Ника Перумова. Представляет собой многомерную гипервселенную, состоящую из нескольких миллиардов миров, аналогичную Planescape. Из большинства миров можно попасть в другие, с помощью… …   Википедия

  • Кольцо тьмы — «Кольцо Тьмы» серия книг российского писателя Ника Перумова про Средиземье в Четвертую эпоху. Книга была написана в конце 1980 х годов в СССР как фанфик по произведениям Джона Толкина. Изначально издавалась под названием «Нисхождение Тьмы, или… …   Википедия

  • Кольцо Тьмы — Фолко, Строри, Торин. Иллюстрация художника Виталия Аникина Автор: Ник Перумов Жанр: фэнтези Страна …   Википедия

  • АРХИМЕДОВО КОЛЬЦО — частично упорядоченное кольцо, аддитивная группа к рого относительно заданного порядка является архимедовой группой. Архимедово линейно упорядоченное кольцо Rесть либо кольцо с нулевым умножением (т. е. для любых и из ) над аддитивной группой,… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕКТОРНОЕ КОЛЬЦО — частично упорядоченное кольцо R, являющееся подпрямой суммой линейно упорядоченных колец . Каждый элемент В. к. есть вектор с координатами нз н тогда и только тогда, когда каждое . Если частичный порядок кольца Rявляется пересечением линейных… …   Математическая энциклопедия

  • АРТИНОВО КОЛЬЦО — артипово справа кольцо, кольцо, удовлетворяющее условию минимальности для правых идеалов, т. е. кольцо, в к ром любое непустое частично упорядоченное по включению множество Мправых идеалов имеет минимальный элемент (см. [1]) такой правый идеал из …   Математическая энциклопедия

  • КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с двумя бинарными операциями, к рые обычно принято наз. сложением и умножением. Кольцом наз. множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и… …   Математическая энциклопедия

  • Упорядоченое — Упорядоченное  фантастическая вселенная из произведений Ника Перумова. Представляет собой многомерную гипервселенную, состоящую из нескольких миллиардов миров, аналогичную Ключевые миры Хьёрвард Один из ключевых миров Упорядоченного, где… …   Википедия

  • Перумов, Ник — Ник Перумов Николай Даниилович Перумов Псевдонимы …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»