ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ

линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений - величины, определяемые формулами

(верхний центральный показатель) и

(нижний центральный показатель); иногда нижним Ц. п. называется величина

Здесь - Коши оператор системы

где - суммируемое на каждом отрезке отображение

Ц. п. и могут равняться имеют место неравенства

из к-рых следует, что если система (1) удовлетворяет условию

то ее Ц. <п. суть числа. Ц. <п. связаны с Ляпунова характеристическими показателями и с особыми показателями неравенствами

Для системы (1) с постоянными коэффициентами Ц. п. и равны соответственно максимуму и минимуму действительных частей собственных значений оператора А. Для системы (1) с периодич. коэффициентами при всех для нек-рого -наименьший период) Ц. п. -и равны соответственно максимуму и минимуму логарифмов модулей мультипликаторов, деленных на период
Если - почти периодич. отображение (см. Линейная система дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами), то Ц. п. системы (1) совпадают с особыми показателями:

(теорема Былова).
Для всякой фиксированной системы (1) условие достаточно для существования такого, что у всякой системы

удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши и условию

решение х=0 асимптотически устойчиво (теорема Винограда). Условие в теореме Винограда не только достаточно, но и необходимо (необходимость сохранится и в том случае, если асимптотич. устойчивость заменить на устойчивость по Ляпунову).
Функция (соответственно на пространстве М _п систем (1). с ограниченными непрерывными коэффициентами (т. е. непрерывно и наделенном метрикой полунепрерывна сверху (соответственно снизу), но каждая из этих функций не всюду непрерывна. Для всякой системы (1) из М _n как угодно близко к ней (в М _n )найдутся системы

такие, что

где i=1, 2, - соответственно наибольший (старший) и наименьший (младший) характеристич. показатели Ляпунова систем (2)
Если отображение равномерно непрерывно и то для почти всякого отображения (в смысле всякой нормированной инвариантной меры сдвигов динамической системы сосредоточенной на замыкании траектории точки А;отображения Арассматриваются как точки пространства динамич. системы сдвигов) верхний (нижний) Ц. <п. системы равен наибольшему (соответственно наименьшему) характеристич. показателю Ляпунова этой системы:

Пусть динамич. система на гладком замкнутом многообразии Vⁿ задана гладким векторным полем. Тогда для почти всякой (в смысле всякой нормированной инвариантной меры) точки верхний (нижний) Ц. п. системы уравнений в вариациях вдоль траектории точки хсовпадает с ее наибольшим (наименьшим) характеристич. показателем Ляпунова. Рассмотрены типичные (с точки зрения категорий Сэра) свойства Ц. п. (см. [3]).

Лит.: [1] Былов В. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В., Теория показателей Ляпунова и ее приложения н вопросам устойчивости, М., 1966; [2] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 71 - 146; [3] Миллионщиков В. М., лДифференц. уравнения