БЭРА КЛАССЫ

- семейства действительных функций, определяемые индуктивно по порядковому числу знаков предела, входящих в определение функции, и-составляющие классификацию функций, предложенную Р. Бэром (R. Baire, 1899; см. [1]) и называемую классификацпей Бэра. Нулевым классом Бэра наз. множество всех непрерывных функций где А - метрич. пространство. Первый класс Бэра есть множество разрывных функций , являющихся пределом сходящейся в каждой точке последовательности непрерывных функций. Класс Бэра , где - трансфннитное число первого или второго класса, определяется как множество функций , не входящих ни в один из предшествующих классов, но представимых в виде где Объединение Б. к. по всем трансфинитам первого и второго классов составляет множество функций Бэра (или бэровских функций). Это есть минимальный, замкнутый в. <смысле поточечной сходимости, класс функций содержащий все непрерывные функции. Линейная комбинация, произведение и частное (если знаменатель не обращается в нуль) функции Б. к. не выше а является функцией Б. к. не выше . Равномерно сходящаяся последовательность функций Б. к. не выше имеет пределом функцию Б. к. не выше . Установлены [4] необходимые и достаточные условия для того, чтобы последовательность функций Б. к. не выше сходилась к функции Б. к. не выше . Открытым ядром множества Атопологического пространства наз. объединение всех открытых множеств . Если - полное пространство с непустым плотным в себе ядром, то ни один Б. к. не пуст (см. [2]). Множество функций Бэра совпадает с множеством функций, измеримых по Борелю (см. Бвреля мера);поэтому все они измеримы по Лебегу (см. Лебега мера).- Функция , измеримая по Лебегу, эквивалентна нек-рой функции Бэра не выше второго Б. к. (см. [3]). Р. Бэр, рассматривая функции, определенные в (в основном в ), наиболее подробно исследовал функции первого класса. Он показал, что для принадлежности разрывной функции первому классу необходимо и достаточно существование точки непрерывности индуцированной функции на каждом совершенном множестве (теорема Бэра). Это утверждение переносится на функции , если Аобладает Бэра свойством (см. [2]). Понятие функций Бэра естественным образом обобщается на функции , где - произвольное метрич. пространство.

Лит.:[1] Бэр Р., Теория разрывных функций, пер. с франц., М.- Л., 1932; [2] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937; [3] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; [4] Гагаев Б. М., "Fundam. math.", 1932, t. 18, p. 182-88.

И. А. Виноградова.