ОБЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ

- словосочетание, употребляющееся в оборотах типа: "объекты О в О. п. имеют свойство S(или свойства S_i)", "S есть свойство О. п.", "приведение в О. п.", точный смысл к-рых зависит от контекста. Обычно совокупность всех рассматриваемых объектов снабжается структурой, позволяющей считать нек-рые подмножества "малыми", "пренебрежимыми" или, наоборот, "большими", "массивными"; тогда Sсчитается "свойством О. п.", если обладающие им объекты образуют в "большое" подмножество. обычно имеет одну из следующих структур: а) алгебраического многообразия, б) дифференцируемого многообразия (возможного, бесконечномерного), в) топологич. пространства, чаще всего Бэра пространства в первом значении этого термина, г) пространства с мерой. "Малыми" считаются соответственно: алгебраич. подмногообразия (меньшей размерности), дифференцируемые подмногообразия и конечные или счетные объединения таковых, нигде не плотные множества или множества первой категории, множества меры нуль. Множество считается "большим", если дополнение к ному - "малое". Тогда говорят также, что содержит "большинство" объектов из или "почти все" эти объекты, а свойство S, выполняющееся для почти всех объектов, наз. "типичным", или свойством О. п. Нередко говорят о "типичном" объекте, объекте общего положения или объекте, находящемся в О. п., подразумевая (иногда молчаливо), что имеется одно или несколько "типичных" свойств (каких именно - должно быть ясно из контекста) и что речь идет об объекте, обладающем этими свойствами.

В более слабом смысле "большое" подмножество в случаях в) и г) может означать подмножество второй категории в непустом открытом подмножестве пространства или подмножество положительной меры. Тогда говорят, что "этим множеством объектов нельзя пренебрегать" (но уже не говорят о "типичности") .

В случаях а) и б) "малое" множество имеет положительную коразмерность codim . Естественно считать, что тем меньше, чем больше codim Близкой к б) (и более общей) является ситуация, когда можно говорить об n-параметрич. семействах объектов достаточно гладко зависящих от п(скалярных) параметров, и всевозможные такие семейства образуют пространство Бэра. Если почти все (в смысле в)) эти семейства не содержат объектов из , то говорят, что codim, а если это так при любом п, то полагают codim. Соображения коразмерности играют значительную роль в теории бифуркаций и теории особенностей дифференцируемых отображений (см. также [8]).

На объекты могут действовать нек-рые операции g;их совокупность Gобычно является группой или хотя бы полугруппой с единицей е. О "приведении объекта О в О. п. посредством операции g" говорят, когда из контекста ясно, что рассматриваются определенные свойства; "приведение" означает, что gO обладает этими свойствами. Как и , G обычно снабжается структурой, позволяющей говорить о "большом" множество операций или о том, что операцию g, переводящую О в объект gO с нужными свойствами, можно выбрать сколь угодно близкой к е("приведение в О. п. посредством малого шевеления").

Напр., на плоскости прямая и окружность в О. п. либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. В данном случае объект есть пара (а, b), где а- прямая, b-окружность, а в качестве операций можно взять евклидовы движения (либо одни только параллельные переносы), действующие на апри фиксированном b. Совокупность всевозможных объектов и группа Gестественно снабжаются всеми названными выше структурами, и О. п. можно понимать согласно любому из описанных вариантов. Первоначально об О. п. говорили именно в подобных геометрич. вопросах, поэтому данный термин употребляется в разделах математики, являющихся геометрическими по своему характеру или по крайней мере испытавших значительное геометрич. влияние (хотя соображения, связанные с множествами второй категории или полной меры, используются и за их пределами). По сей день термин "О. п." часто применяется к ситуации, непосредственно обобщающей приведенный пример, когда речь идет о трансверсальности двух подмногообразий в нек-ром объемлющем многообразии (или к родственной ситуации с трансверсальными самопересечениями иммерсированного подмногообразия). В частности, и геометрич. топологии (рассматривающей кусочно линейные или топологич. многообразия и соответствующие классы отображений) термин "О. п." употребляется почти исключительно как синоним трансверсальности.

В алгебраич. геометрии простые примеры (вроде приведенного) легко разбираются с помощью теории исключения, причем основное поле может быть довольно произвольным (обычно алгебраически замкнутым). Имеются теоремы, связанные с О. п. в более сложных ситуациях (напр., Бертини теоремы, Лефшеца теорема о гиперплоском сечении); при изучении действия алгебраич. группы на алгебраич. многообразии большую роль играют общего положения точки[1].

В дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений О. <п. используется очень широко. Доказательства обычно проводятся с помощью теоремы Сарда или ее следствий - теорем Абрахама и Тома о трансверсальности (см. [2], |3]), более удобных для непосредственного применения. В бесконечномерном случае теорема Сарда не верна, однако можно получить более слабые результаты, к-рых иногда бывает достаточно (см. [4], [5]).

В теории гладких динамич. систем имеется ряд результатов о "типичных" свойствах. Большинство из них (особенно в локальной теории бифуркаций [3]) доказывается с использованием редукции к теореме Сарда; положительные результаты, не связанные с такой редукцией, немногочисленны (см. [6], [7], [9], [10], а также лит. при ст. Грубая система). Для теории гладких динамич. систем характерно наличие существенного различия между О. п. в топологич. и метрич. смысле [в) и г) см. выше] [11].

Об О. п. в дифференциальной геометрии многообразий см. [12], [13].

Лит.:[1] Mumford D., Geometric invariant theory, В.- Hdlb.- N. Y., 1965; [2] Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967, приложение III; [3] Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978; [4] Eells J., McAlpin J., "J. Math, and Mech.", 1968, v. 17, , № 11, p. 1055 - G4; [5] Quinn F., в кн.: Global analysis, Providence, 1970, p. 213-22; [6] Gutierrez C, "Trans. Amer. Math. Soc", 1978, v. 241, p. 311-20; [7] eго же, "J. Diff. Equations", 1978, v. 29, № 3, p. 388 - 95; [8] Кurland H., Robbin J., в кн.: Dynamical Systems - Warwick, 1974, В.- Hdlb.- N. Y., 1975, p. 135 - 50; [9] Takens P., там же, р. 293-304; [10] Добрынский В. А., Шapковский 4. Н., "Докл. АН СССР", 1973, т. 211, .№ 2, с. 273-76; [11] Арнольд В. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1961, т. 25, № 1, с. 21-86; 1964, т. 28, № 2, с. 479-80; [12] Wall С, в кн.: Geometry and topology, В.- Hdlb.- N. Y., 1977, p. 707-74; [13] Klingenberg W., Lectures on closed geodesies, B.- Hdlb.- N. Y., 1978.

Д. В. Сносов,