КАРТА

КАРТА

криволинейная система координат, параметризация множества М,- взаимно однозначное отображение

множества Мна открытое подмножество Dарифметического векторного пространства Rn. Число пназ. размерностью карты, а компоненты х i (р)вектора - координатами точки относительно карты х. Примером К. служит декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве, введенная П. Ферма (P. Fermat) и Р. Декартом (R. Descartes) и положенная ими в основу аналитич. еометрии. К. (криволинейные координаты) на поверхности в геометрич. исследованиях впервые использовал Л. Эйлер (L. Euler). Б. Риман (В. Riemann) положил понятие К. в основу нового инфинитезимального подхода к обоснованию геометрии (см. [1]). Согласно концепции Б. Римана, основным объектом исследования геометрии является многообразие - множество М, снабженное К. Современное понятие многообразия является естественным обобщением определения Б. Римана.

Карта х: нек-рого подмножества Uмножества М наз. локальной картой множества Мс областью определения U. Если множество Мснабжено структурой топологич. пространства, то при этом дополнительно требуется, чтобы область определения Uбыла открытым подмножеством в М, а отображение хбыло бы гомеоморфизмом. Аналогично определяется К. со значениями в Fn, где F- произвольное нормированное поле, и вообще К. со значениями в топологическом векторном пространстве. Две локальные К. (x,U),( у, V )с областями определения U, V множества Мназ. согласованными класса С 1, если: 1) их общая область определения изображается на каждой из них открытым множеством (т. е. множества x(W)и y(W)открыты в Rn), 2) координаты точки из общей области определения Wотносительно одной из этих К. являются lраз непрерывно дифференцируемыми функциями от координат этой же точки относительно другой К., т. е. вектор-функция

lраз непрерывно дифференцируема. Множество А={a, Ua)}попарно согласованных между собой локальных К. (х a, Ua )множества М, покрывающих все М(UaUa= М )наз. атласом множества М. Задание атласа определяет на Мструктуру дифференцируемого многообразия, а локальные К., согласованные со всеми К. этого атласа, наз. допустимыми (или С'-гладкими).

Инфинитезимальным аналогом понятия К. является понятие инфинитезимальной карты порядка k(или, иначе, к-с труи карты, или корепера порядка k). Говорят, что две согласованные между собой локальные карты ( х, U)( у, V )множества Мкасаются друг друга до порядка кв точке если х(р) = у (р)и все частные производные до порядка квключительно вектор-функции уох -1:. обращаются в точке х(р)в нуль. Класс jkp(x). локальных К., касающихся в точке допустимой локальной К. ( х, U )многообразия М, наз. инфинитезимальной К. порядка кв точке р.

Выбор К. многообразия M позволяет рассматривать различные полевые величины на Мкак числовые функции и применять к ним методы анализа. Вообще говоря, значение полевой величины в точке зависит от выбора К. (Величины, не зависящие от выбора К., наз. скалярными и описываются функциями на многообразии М. )Однако для широкого и наиболее важного класса величин (см. Геометрических объектов теория )их значение в точке зависит только от устройства К. в инфинитезимальной окрестности k-гo порядка этой точки. Такие величины (примерами к-рых являются тензорные поля) описываются функциями на множестве всех кореперов порядка kна М. Вместе с тем изучаются такие свойства величин, к-рые не зависят от выбора К. В связи с этим весьма эффективным оказывается инвариантный бескоординатный подход к задачам дифференциальной геометрии.

Лит.:[1] Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948, с. 279-93; [2] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ. 3 изд., М., 1967; [3] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения. пер. с нем., М., 1975; [4] Лихнерович А., Теория связностей в цепом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960.

Д. В. Алексеевский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую
Синонимы:

Полезное


Смотреть что такое "КАРТА" в других словарях:

  • карта — карта: Картографическое листовое издание, содержащее карту, занимающую всю площадь листа. Источник: ГОСТ 7.60 2003: Система стандартов по информации, библиотечному …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Карта — Карта: Колода карт: Игральные карты Карты Таро Карточная игра Коллекционная карточная игра Карта пространства (местности): Географическая карта Ландшафтная карта Морская навигационная карта Топографическая карта Спортивная карта Цифровая карта… …   Википедия

  • КАРТА — (итал. carta, лат. charta бумага). 1) четырехугольный листок бумаги, на котором изображены знаки одной из четырех карточных мастей. 2) чертеж неба, земли, моря и т. п. (географические карты). 3) список кушаньям и напиткам в гостиницах. Словарь… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • КАРТА — КАРТА, карты, жен. (нем. Karte, от лат. charta). 1. Чертеж части земной поверхности, то же, что ландкарта (геогр.). Карта Европы. || То же с преимущественным учетом, согласно правилам картографии, тех или иных специальных признаков… …   Толковый словарь Ушакова

  • карта — выложить свои карты, играть в карты, показать свои карты, поставить на карту, резаться в карты.. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. карта диаграмма, локальная карта,… …   Словарь синонимов

  • карта — map Karte – зменшене (масштабоване), узагальнене, побудоване за визначеними математичними законами (законами картографічних проекцій) зображення значних ділянок або всієї площі земної поверхні, інших небесних тіл або позаземного простору на… …   Гірничий енциклопедичний словник

  • КАРТА — жен. чертеж какой либо части земли, моря, тверди небесной, карта географическая, топографическая (частная и подробная), морская и пр. Плоская морская карта, которая начерчена, принимая поверхность земного шара на плоскость; меркаторская, на… …   Толковый словарь Даля

  • Карта идёт — кому. КАРТА ПОШЛА кому. Разг. 1. Начало везти кому либо в карточной игре. Доктор Клебе довольно покладисто разрешил продлить игру на полчаса, тем более, что во втором роббере ему небывало шла карта (К. Федин. Санаторий Арктур). И чем больше… …   Фразеологический словарь русского литературного языка

  • Карта — * карта * map 1. Графическое описание физически или генетически установленных позиций (положений) к. л. показателей на линейной или кольцевой молекуле ДНК, их относительная локализация и расстояние. К. может показывать расположение сайтов… …   Генетика. Энциклопедический словарь

  • карта — Построенное в картографической проекции, уменьшенное, обобщенное изображение поверхности Земли, поверхности другого небесного тела или внеземного пространства, показывающее расположенные на них объекты в определенной системе условных знаков.… …   Справочник технического переводчика

  • карта — Построенное в картографической проекции (на плоскости) с использованием специальных условных знаков, уменьшенное и обобщенное изображение поверхности Земли, других небесных тел или небесной сферы. Syn.: картографическое изображение;… …   Словарь по географии


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»