ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛ

- континуальный аналог Фурье ряда. Для функции, заданной на конечном промежутке действительной оси, важное значение имеет представление ее рядом Фурье. Для функции f(x). заданной на всей оси, аналогичную роль играет разложение f в интеграл Фурье:

где

Разложение (1) можно формально строить в предположениях, обеспечивающих существование написанных интегралов. Оно справедливо, напр., для гладкой финитной функции f(x). Имеется большое число признаков, обеспечивающих равенство (1) в том или ином смысле. Подстановка (2) в (1) дает т. н. интегральную формулу Фурье

обоснование к-рой и приводит к упомянутым признакам. Большую пользу приносит при этом представление f(x)простым интегралом Фурье

к-рое получается из (3), если записать внешний интеграл как предел по интервалу (0, N)и поменять порядок интегрирования. В прикладных науках представление (1) часто интерпретируется как разложение по гармоникам: если

то (1) принимает вид:

и таким образом f представляется в виде суперпозиции гармоник, частоты к-рых непрерывно заполняют действительную полуось а амплитуда Dи начальная фаза зависят от
Во многих случаях (в частности, для комплексно-значных функций f) разложение (1) удобнее представлять в экспоненциальной форме:

где

Функция именуется при этом Фурье преобразованием функции f (в прикладных науках С(l) наз. <частотной характеристикой, или спектром, f).
При условии, что функция f (x) суммируема: функция ограничена, равномерно непрерывна на оси и при Функция может оказаться несуммируемой и интеграл (4) - несуществующим. Однако равенство (4) допускает разумное истолкование, если воспользоваться методами суммирования интегралов [при этом можно рассматривать не только поточечную сходимость, но и сходимость в среднем]. Напр., средние арифметические усеченных Ф. и.

суммируемой функции f(x) сходятся к f(x) почти всюду и в среднем при При наличии дополнительных ограничений на функцию f(x) получаются более конкретные утверждения. Напр., если и имеет ограниченную вариацию в окрестности х, то

В приложениях часто используется разложение

верное для кусочно гладкой в каждом конечном интервале абсолютно интегрируемой функции f(x), где интеграл справа понимается в смысле главного значения (6). Ф. и. изучается также в предположении локальной суммируемости функции f и при тех или иных требованиях, накладывающих ограничения на поведение f в Пусть, напр., тогда

где предел понимается в смысле сходимости в среднем порядка [однако предел в (7) существует и в смысле сходимости почти всюду]. Простую форму приобретает этот результат при р = 2 (см. Планшереля теорема).
Аналогично строится теория кратных Ф. и., когда речь идет о разложении функции, заданной в n-мерном пространстве. Понятие Ф. и. распространяется также и на обобщенные функции.

Лит.:[1] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. сангл., М.- Л., 1948; [2] Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье, пер. с англ., М., 1962; [3] 3игмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 2, М., 1965.
П. И. Лизоркин.