- ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
-
- интегральное преобразование, действующее в пространстве ф-ций п действительных переменных:
Для суммируемых во всём пространстве Rn ф-ций Ф
L1(Rn )интеграл (*) корректно определяет нек-рую ф-цию F[j ] ( х) =y( х) - фурье-образ ф-ции j. Обратное отображение F-1, восстанавливающее ф-цию j( х) по известной F[j]( х),- о б р а т н о е п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е - задаётся ф-лой
Наиб. естественно Ф.-п. выглядит для обобщённых функций медленного роста, оно оставляет ф-ции в этом же классе. Аналогичным свойством Ф.-п. обладает для квадратично суммируемых ф-ций, для к-рых справедливо равенство Парсеваля:
где <...> - скалярное произведение. Это обстоятельство, в частности, гарантирует эквивалентность координатного и импульсного представлений для волновых ф-ций квантовой механики.
Многочисл. техн. применения Ф.-п. основываются на следующих его свойствах: свёртка ф-ций f и g переходит в произведение фурье-образов F[f*g] = F[f]F[g]; Ф. п. производной ф-ции задаётся умножением на независимую переменную, F[Daf] (x) = (ix)aF[f].
Лит.: Владимиров B.С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; его же, Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; Хёрмандер Л., Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, пер. с англ., т. 1, М., 1986. С. В. Молодцов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
