СФЕРА


СФЕРА

- множество Sn точек хевклидова пространства En+1, находящихся от нек-рой точки х 0 (центр С.) на постоянном расстоянии R (радиус С.), т. е.

С. S0 - пара точек, С. S1 - это окружность, С. Sn при n>2 иногда наз. гиперсферой. Объем С. Sn (длина при п=1, поверхность при n=2) вычисляется по формуле

в частности,

Уравнение С. Sn в декартовых прямоугольных координатах в Е n+1 имеет вид

(здесь - координаты х, х0 соответственно), т. е. С.- (гипер)квадрика, или поверхность второго порядка специального вида.
Положение какой-либо точки в пространстве относительно С. характеризуется степенью точки. Совокупность всех С., относительно к-рых данная точка имеет одинаковую степень, составляет сеть С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой прямой (радикальной оси) имеют одинаковую степень (различную для различных точек), составляет связку С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой плоскости (радикальной плоскости) имеют одинаковую степень (различную для разных точек), составляет пучок С.
С точки зрения дифференциальной геометрии, С. Sn -риманово пространство, имеющее постоянную (гауссову при n=2 и риманову при n>2) кривизну Все геодезич. линии С. замкнутьь и имеют постоянную длину - это т. н. большие окружности, т. <е. пересечения с Sn двумерных плоскостей в Е п+1,проходящих через ее центр. Внешнегеометрич. свойства Sn:все нормали пересекаются в одной точке, кривизна любого нормального сечения одна и та же и не зависит от точки, в к-рой оно рассматривается, в частности имеет постоянную среднюю кривизну, причем полная средняя кривизна С. - наименьшая среди выпуклых поверхностей одинаковой площади, все точки С. омбилические.
Нек-рые из таких свойств, принятые за основные, послужили отправной точкой для обобщения понятия С. Так, напр., аффинная сфера определяется тем, что все ее (аффинные) нормали пересекаются в одной точке; псевдосфера- поверхность в Е 3 постоянной гауссовой кривизны (но уже отрицательной); одна из интерпретаций орисферы (предельной сферы) - множество точек внутри S2. определяемое уравнением также второго порядка

На С. Sn дважды транзитивно действует ортогональная группа O(n+1) пространства Е п+1 (2-транзитивность означает, что для любых двух пар точек с равными расстояниями между ними существует вращение - элемент О(п+1), переводящее одну пару в другую); эта группа является полной группой изометрий Sn;наконец, С. есть однородное пространство: Sn=O(n+1)/O(n).
С точки зрения (дифференциальной) топологии, С. Sn - замкнутое дифференцируемое многообразие, разделяющее Е п+1 на две области и являющееся их общей границей; при этом ограниченная область, гомеоморфная Е п+1,-это (открытый) шар, так что С. можно определить как его границу.
Группы гомологии С. Sn,


в частности Sn не стягивается в точку сама по себе, т. е. тождественное отображение Sn в себя cущественно.

Группы гомотопий С. Sn,

Напр., при n>2. В общем случае - для любых kи п, k>n, группы не вычислены ( см. Сфер гомотопические группы).
И здесь понятие С. получает обобщение. Напр., дикая сфера - топологич. С. (см. ниже) в Е п+1, не ограничивающая области, гомеоморфной Е п+1; Милнора сфера (экзотическая С.) - многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное Sn.
Топологич. пространство, гомеоморфное С., наз. топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что нек-рое пространство является топологич. сферой.

Примеры.
а) Инвариантная топологич. характеристика С. Sn при n>2 не известна (1984). О случае п=1 см. Одномерное многообразие. Для того чтобы континуум был гомеоморфен С. S2, необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нем такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера).

б) Полное односвязное риманово пространство размерности кривизна к-рого для всех касательных двумерных плоскостей -ограничена с т. е. гомеоморфно Sn (теорема о сферe, см. Риманова геометрия).

в) Односвязное замкнутое гладкое многообразие, (целые) гомологии к-рого совпадают с гомологиями Sn, гомеоморфно Sn при (при п =3 - неизвестно (1984)). Если n = 5, 6, то оно также и гомеоморфно Sn (обобщенная гипотеза Пуанкаре), при n=3, 4 гипотеза остается (1984), при диффеоморфизм не имеет места.
Совершенно аналогично определяется С. Sв метрич. пространстве
Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или может быть пустым).
В нормированном пространстве Кс нормой С. наз. множество это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая, напр., гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной С. Один из вариантов, применяющихся в топологии, - т. н. бесконечномерная сфера - строгий индуктивный предел последовательности вложенных сфер:


другое определение: где - бесконечномерное Штифеля многообразие. Для любого i оказывается, что
Приложения понятия С. чрезвычайно разнообразны. Напр., С. участвует в конструкциях новых пространств или дополнительных структур на них. Так, напр., проективное пространство можно интерпретировать как С. Sn с отождествленными диаметрально противоположными точками; С. с ручками и дырами используется в ручек теории;см. также Когомотопическая группа, Сферическое отображение.

Лит.:[1] Розейфельд Б. А., Многомерные пространства, М., 1966; [2] его же. Неевклидовы пространства, М., 1969; [3]Лени П., Конкретные проблемы функционального анализа, пер. с франц., М, 19.67; [4] Введение в топологию, М., 1980; [5] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962.
И. С. Шарадзе.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Смотреть что такое "СФЕРА" в других словарях:

  • СФЕРА — (греч. sphaira шар). 1) твердое тело, в котором все точки поверхности одинаково отдалены от внутренней точки, называемой центром шар; изображение земли в виде глобуса. 2) часть пространства, в котором планета совершает свой путь. 3) в фигуральном …   Словарь иностранных слов русского языка

  • СФЕРА — жен., греч. шар, шарообразное тело или пустота, или изображенье его на бумаге; в приложении к небесным телам: шар обращаемый на оси своей, представляющий землю нашу, или небесную твердь, с означеньем всех воображаемых кругов. Армилярная сфера,… …   Толковый словарь Даля

  • сфера — ы, ж. sphère f. <гр. sphaira. 1. геом. Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра /. БАС 1. | перен. Сфер десять пролетев воздушных, Узрел вдали питейный дом. И. Наумов Ясон. // Ирои комич. поэма 560. 2.… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • СФЕРА — сферы, жен. [греч. sphaira шар]. 1. То же, что шар (мат.). 2. перен. Область, место, пределы, в к рых существует, действует, развивается, применяется что н. (книжн.). «Смотря по свойству поэтического таланта и по степени его выработанности, сфера …   Толковый словарь Ушакова

  • СФЕРА — СФЕРА, ы, жен. 1. Область, пределы распространения чего н. С. деятельности. С. влияния. 2. Среда, общественное окружение. В своей сфере. Высшие сферы (о правящих, аристократических кругах). 3. Замкнутая поверхность, все точки к рой равно удалены… …   Толковый словарь Ожегова

  • сфера — См. область …   Словарь синонимов

  • Сфера — (Хабаровск,Россия) Категория отеля: 3 звездочный отель Адрес: Переулок Дежнева 15, Хабаровск …   Каталог отелей

  • -сфера — сфера  компонент сложных слов, означающих: 1) одну из оболочек планет и звёзд: астеносфера атмосфера барисфера биосфера геосфера гетеросфера гидросфера гомосфера ионосфера литосфера магнитосфера мезосфера стратосфера субстратосфера… …   Википедия

  • СФЕРА — (от греческого sphaira шар), 1) область действия, пределы распространения чего либо (например, сфера влияния). 2) Общественное окружение, среда, обстановка …   Современная энциклопедия

  • СФЕРА — (от греч. sphaira шар) 1) область действия, пределы распространения чего либо (напр., сфера влияния).2) Общественное окружение, среда, обстановка …   Большой Энциклопедический словарь

  • СФЕРА — замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра сферы). Отрезок, соединяющий центр сферы с какой либо ее точкой (а также его длина), называется радиусом сферы. Площадь поверхности сферы S=4?R2, где R радиус сферы …   Большой Энциклопедический словарь

Книги

  • Сфера, Эггерс, Дэйв. Роман лидера новой волны американской литературы, жестокая сатира на современный мир социальных сетей и сплошного белого шума. СФЕРА - корпорация добра: она совершенствует мир, делая его… Подробнее  Купить за 489 руб
  • Сфера, Дэйв Эггерс. Мэй Холланд крупно повезло. Она работает в идеальной компании «Сфера» – союз блистательных умов поколения, где все прислушиваются ко всем и все вдохновенно совершенствуют мир. Здесь Мэй… Подробнее  Купить за 170 руб электронная книга
  • Сфера, Дейв Эггерс. Книга Дэйва Эггерса«Сфера»сосредоточена вокруг темы социальных сетей. По сюжету молодая девушка Мэй устраивается в корпорацию«Сфера», где постепенно постигает принципы… Подробнее  Купить за 150 грн (только Украина)
Другие книги по запросу «СФЕРА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.