ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА

группа всех линейных преобразований n-мерного векторного пространства Vнад полем k, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V(т. е. таких линейных преобразований j, что Q(j_n(v))=Q(v) для любого ). О. г. принадлежит к числу классических групп. Элементы О. г. наз. ортогональными (относительно Q).преобразованиями V, а также автоморфизмами формы Q. Пусть, далее, char (об О. г. над полями характеристики 2 см [l], [7]) и f - связанная с Qневырожденная симметрич. билинейная форма на V, определенная формулой

Тогда О. г. состоит в точности из тех линейных преобразований пространства V, к-рые сохраняют f, и обозначается через O_n(k, f) или (когда ясно о каком поле kи форме f идет речь) просто через О _n. Если В - матрица f в каком-либо базисе пространства V, то О. г. может быть отождествлена с группой всех таких (nХn)-матриц Ас коэффициентами в k, что ( -транспонирование).

Описание алгебраич. строения О. г. составляет предмет классич. исследований. Определитель любого элемента из О _п равен 1 или -1. Элементы с определителем 1 наз. вращениями; они образуют в О. г. нормальный делитель (или просто ) индекса 2, наз. группой вращений. Элементы из наз. переворачиваниями. Всякое вращение (переворачивание) является произведением четного (нечетного) числа отражений из О _п. Пусть Z_n - группа всех гомотетий , пространства V. Тогда - это центр O_n он состоит из двух элементов: j₁ и j_n-1. Если пнечетно, то О _п является прямым произведением своего центра и . Центр при тривиален, если пнечетно, и совпадает с центром О _п, если п четно. Если же п=2, то группа коммутативна и изоморфна либо мультипликативной группе поля k(в случае, когда индекс Витта v формы f равен 1), либо группе элементов с нормой 1 в поле , где D - дискриминант формы f (в случае, когда v=0). Коммутант группы O_n(k, f) обозначается через W_n(k, f) или просто W_n; он порождается квадратами элементов из О _п. При коммутант группы совпадает с W_n. Центр группы W_n имеет вид

Классич. группами, связанными с О. г., являются также канонич. образы и в проективной группе;они обозначаются и (или просто

и ) и изоморфны соответственно и

Основные классич. факты об алгебраич. структуре О. г. относятся к описанию последовательных факторов следующего ряда нормальных делителей в О. г.

Группа имеет порядок 2. Всякий элемент в имеет порядок 2, ввиду чего строение этой группы полностью определяется кардинальным числом ее элементов, к-рое может быть либо бесконечным, либо конечным вида 2^a, а - целое. Описание остальных факторов существенно зависит от того, отличен ли от нуля индекс Витта v формы f.

Пусть сначала . Тогда при Этот изоморфизм определен спинорной нормой, к-рая задает эпиморфизм на с ядром W_n. Группа нетривиальна (и состоит из преобразований j₁ и j_-1) тогда и только тогда, когда п-четно и Если , то группа проста. Случаи n=3, 4 рассматриваются отдельно. А именно, PW₃=W₃ изоморфна PSL₂(k).(см. Специальная линейная группа).и также проста, если число элементов в А; не равно 3 (группа изоморфна проективной группе PGL₂(k)). При v=l группа РW₄=W₄ изоморфна группе и проста (в этом случае ), а при v=2 группа PW₄ изоморфна и не проста. В частном случае, когда и Q - форма сигнатуры (3, 1), группа наз. группой Лоренца.

В случае же, когда v=0 (т. е. Q - анизотропная форма), многие из указанных результатов не верны. Напр., если , a Q - положительно определенная форма, то , хотя состоит из двух элементов; при k=Q, n=4, возможен случай, когда , но . Вообще при v=0 структура О. г. и связанных с ней групп существенно зависит от k. Напр., если k=, то , , , v=0, проста (а изоморфна прямому произведению двух простых групп); если же k - поле р-адических чисел, то при v=0 в O₃ (и в 0₄) существует бесконечный ряд нормальных делителей с абелевыми факторами. Наиболее изучены случаи локально компактного поля и поля алгебраич. чисел. Если k - поле р-адических чисел, то случай v=0 невозможен при . Если же k - поле алгебраич. чисел, то такого ограничения нет и один из основных результатов состоит в том, что РW_n при v=0 и n>=5 проста. В этом случае изучение О. г. тесно связано с теорией эквивалентности квадратичных форм, к-рая основывается на рассмотрении форм, полученных из Qпри расширении kдо локальных полей, определенных нормированиями А: (принцип Хассе).

Если k - конечное поле из qэлементов, то О. г. является конечной группой. Порядок при нечетном правен

а при n=2m равен

где при и в противном случае. Указанные формулы вместе с приведенными общими фактами об О. г. при позволяют вычислить также и порядки W_n и PW_n, так как при , а порядок равен 2. Группа PW_n,, является одной из классических простых конечных групп (см. также Шевалле группа).

Одни из основных результатов об автоморфизмах О. г. состоит в следующем: если , то всякий автоморфизм j группы О _п имеет вид , , где - фиксированный гомоморфизм О _п в ее центр, a g - фиксированное биективное полулинейное отображение V в себя, удовлетворяющее условию для всех , где , а s - связанный с gавтоморфизм k. Если и , то всякий автоморфизм индуцирован автоморфизмом Оn (см. Ц], [3]).

Так же, как и другие классич. группы, О. г. допускает (при нек-рых предположениях) геометрпч. характери-зацию. А именно, пусть Q - такая анизотропная форма, что для любого . В этом случае k - ппфагорово упорядочиваемое поле. При фиксированном упорядочении поля kn-мерной цепью инцидентных полупространств в Vназ. любая последовательность , построенная по линейно независимой системе векторов , где H_S - множество всех линейных комбинаций вида Группа О _п обладает свойством свободной подвижности, т. е. для любых двух n-мерных цепей полупространств существует единственное преобразование из О _п, переводящее первую цепь во вторую. Это свойство характеризует О. г.: если L - любое упорядоченное тело и G - подгруппа в GL_n(L),, обладающая свойством свободной подвижности, то Lявляется пифагоровым полем, a G=O_n(L, f), где f - такая анизотропная симметрич. билинейная форма, что для любого вектора v.

Пусть - фиксированное алгебранч. замыкание поля k. Форма f естественно продолжается до невырожденной симметрич. билинейной формы на , а О. г. является определенной над k линейной алгебраической группой с группой k-точек O_n(k, f). Определяемые таким образом (для разных f) линейные алгебраич. группы изоморфны над (но, вообще говоря, не над k);соответствующая линейная алгебраич. группа над наз. ортогональной алгебраической группой . Ее подгруппа также является линейной алгебраич. группой над и наз. собственно ортогональной, или специальной ортогональной, алгебраической группой (обозначение: ); она является связной компонентой единицы группы Группа - почти простая алгебраич. группа (т. е . не содержащая ненульмерных алгебраич. нормальных делителей) типа B_s при n=2s+1, , и типа D_s при n=2s, . Универсальной накрывающей группы SO_n является спинорная группа.

Если или p-адическое поле, то O_n(k, f).естественно снабжается структурой вещественной, комплексной или р-адической аналитической группы. Группа Ли определяется с точностью до изоморфизма сигнатурой формы f; если эта сигнатура имеет вид ( р, q), p+q=n, то обозначается через О( р, q).и наз. псевдоортогональной группой. Ее можно отождествить с группой Ли всех действительных (nхn)-матриц А, удовлетворяющих условию

(через 1_s обозначена единичная (sХs)-матрица); алгебра Ли этой группы отождествляется с алгеброй Ли всех действительных (nХn)-матриц X. удовлетворяющих условию . В частном случае q=О группа O( р, q).обозначается через O(п).и наз. вещественной ортогональной группой; ее алгебра Ли состоит из всех кососимметрических действительных (nХn)-матриц. Группа Ли О( р, q).имеет четыре компоненты связности при и две компоненты связности при q=0. Связной компонентой единицы является ее коммутант, к-рый при q=0 совпадает с подгруппой SO(n).в О(п), состоящей из всех преобразований с определителем, равным 1. Группа O( р, q).компактна только при q=0. Инварианты SO (п).как топологич. многообразия достаточно подробно изучены. Один из классич. результатов в этом направлении - вычисление чисел Бетти многообразия SO(n):его полином Пуанкаре имеет вид

при п=2m+1 и вид

при п=2т. Фундаментальная группа многообразия SO(n).есть . Вычисление высших гомотопич. групп p_i(SO (п)) имеет непосредственное отношение к классификации локально тривиальных главных SO(n).расслоений над сферами. Важную роль в топологической К-теории играет теорема периодичности, согласно к-рой при имеют место изоморфизмы

если n=0, 1;

если n=3, 7, и

если n=2, 4, 5, 6. Изучение топологии группы O( р, q).но существу сводится к предыдущему случаю, т. к. связная компонента единицы группы О( р, q).диффеоморфна произведению SO(p)xSO(q).на евклидово пространство.

Лит.: [1] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [2] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [3] Автоморфизмы классических групп, пер. с англ, и франц., М., 1976; [4] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; L5] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [6] Б у р 0 а к и Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [7] О'Меаrа О. Т Introduction to quadratic forms, В.-Hdlb., 1963; [8] Xьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970.

В. Л. Попов.