- БОГОЛЮБОВА ТЕОРЕМА
1) Б. т. "острие клина"-обобщение принципа аналитического продолжения, особенно для случая многих комплексных переменных; получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 при обосновании дисперсионных соотношений в квантовой теории поля (см. [1], Дополнение А). Современная формулировка: пусть функция
, голоморфна в открытом множестве
где
- такой открытый конус в Rn с вершиной в нуле, что
открытое множество
содержится в шаре
и для любой основной функции
из
существует
не зависящий от способа стремления
тогда
допускает аналитич. родолжение в область
где
- комплексная окрестность множества
, причем
- постоянная, зависящая только от конуса
- расстояние от точки
до границы множества
. Б. т. "острие клина" остается верной и при
. В этом случае и при нек-рых предположениях о росте функции
получается первоначальная формулировка Н. Н. Боголюбова (см. [1]; роль конуса играл световой конус в
). Существуют различные доказательства и обобщения этой теоремы (см. [2]). Особо следует отметить обобщения на гиперфункции (см. [4]) и голоморфные коциклы (см. [3]).
Б. т. "острие клина" находит широкие применения в аксиоматич. квантовой теории поля, в теория дифференциальных уравнений с частными производными, в теории граничных значений голоморфных функций (особенно функций многих комплексных переменных). При этом полезным дополнением к теореме является теорема о С- выпуклой оболочке [2]; пусть, в условиях Б. т. "острие клина",
где
- выпуклый острый конус; тогда где
- голоморфности оболочка области
,
- действительное сечение области
есть
- выпуклая оболочка множества
, т. е. наименьшее открытое множество, содержащее
и обладающее тем свойством, что если точки
и
из
могут быть соединены С-подобной кривой, целиком лежащей в
то и все гомотопные ей кривые лежат в
Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, М., 1958; [2] Владимиров B.C., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] Маrtinеau A., Distributions et valeurs au bord des fonctions holomorphes - "Theory of Distributions. Proc. of an intern. Summer Institute Held", Lisboa, 1964, p. 193-326; [4] Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations, Lectures Notes in Mathematics, 287, В.-Hdlb.-N. Y., 1973. В. С. Владимиров.
2) Б. т. об особенностях типа 1/q2: теорема статистич. механики об асимптотич. поведении Грина функций в пределе малых импульсов (qЮ0) для бозе- и ферми-систем с градиентно-инвариантным потенциалом взаимодействия. Установлена Н. Н. Боголюбовым в 1961 (см. [1]).
Для систем многих взаимодействующих частиц в случае вырождения состояния статистич. равновесия для двувременных температурных коммутаторных функций Грина в энергетич. представлении справедливо неравенство:
где
- операторы уничтожения и рождения частицы с импульсом
Возникающие (при
), в соответствии с Б. т., у функций Грина особенности отвечают элементарным возбуждениям в исследуемой физич. системе. Б. т. предсказывает также асимптотич. поведение при малых импульсах макроскопич. характеристик системы, связанных с функциями Грина известными формулами.
Согласно (1), напр., для сверхтекучих бозе- (или ферми-) систем плотность непрерывного распределения частиц по импульсам
при
стремится к бесконечности не медленнее, чем
. В этом случае вырождение состояния статистич. равновесия связано с законом сохранения полного числа частиц, т. е. с инвариантностью гамильтониана системы относительно градиентных преобразований. Но аналогичные особенности появляются у соответствующих функций Грина и, следовательно, у корреляционных фулкций, характеризующих системы с другими видами вырождения, обусловленными наличием нек-рых аддитивных законов сохранения, т. е. инвариантностью гамильтониана системы относительно нек-рых групп преобразований. Б. т. приводит к целому ряду нетривиальных физич. следствий, связанных, напр., с вопросами специфич. упорядочения в системах многих взаимодействующих частиц, спонтанное нарушение симметрии в к-рых проявляется совершенно различным образом: модель Гейзенберга с ферро-, антиферро- и ферримагнитным упорядочиванием, системы сверхтекучего и сверхпроводящего типа, системы с кристаллич. упорядочением.
Возникновение у функций Грина особенностей при qЮ0 связывается с наличием в энергетич. спектре системы ветви коллективных возбуждений "бесщелевого" типа, что отвечает при определенном ограничении на потенциал взаимодействия спонтанному нарушению симметрии.
Характер энергетич. спектра элементарных возбуждений может быть исследован с помощью неравенства для построенного на функциях Грина типа (1) массового оператора. Для бозе-систем при конечной температуре
это неравенство имеет вид:
При
формула (2) дает обобщение (на конечные температуры) так наз. формулы Гугенгольца - Пайнса. В предположении регулярности массового оператора в окрестности точки
из (2) можно получить "бесщелевой" характер (акустич. типа) энергетич. спектра возбужденных состояний.
В случае же нулевых температур (q = 0) неравенство (1) позволяет установить связь между плотностью непрерывного распределения частиц по импульсам и минимальной энергией возбужденного состояния.
Соотношения типа (1) должны быть справедливы и в квантовой теории поля, где в случае спонтанного нарушения симметрии (при переходе от одного основного состояния к другому) возникает [4], [5] бесконечное число частиц нулевой массы (Голдстоуна теорема), интерпретируемых как особенности при малых импульсах в квантово-полевых функциях Грина. Б. т. перенесена на релятивистскую квантово-полевую модель со спонтанным нарушением симметрии в [6].
Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., Избранные труды, т. 3, Киев, 1971; [2] Садовников Б. И., Федянин В. К., "Теор. и матем. физ.", 1973, т. 16, в. 3, с. 368-93; [3] Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И., Некоторые вопросы статистической механики, М., 1975; [4] GoldstoneJ., "Nuovo Cim.", 1961, v. 19, p. 154-64; [5] Со1dstоne J., Salam A., Weinberg S., "Phis. Rev.", 1962, v. 127, p. 965-70; [6] Казанский А. К., "Теор. и матем. физ.", 1975, т. 22, в. 3, с. 418-21. А. М. Курбатов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.