- Теорема Крылова
-
В теории динамических систем под теоремами Крылова — Боголюбова понимаются две теоремы, утверждающие существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Теоремы доказаны математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.[1][2] (переиздано в[3]).
Содержание
Формулировка теоремы
Инвариантные меры для отображений
Теорема Крылова — Боголюбова для динамических систем утверждает, что
Пусть — непрерывное отображение метрического компакта в себя.
Тогда на существует -инвариантная мера .Стоит отметить, что условие -инвариантности, , означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,
при этом в случае необратимого отображения мера не обязана равняться мере . Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности , однако мера дуги не равна мере её образа, дуги .
Инвариантные меры для марковских процессов
Пусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть
- Теорема Крылова — Боголюбова утверждает, что если существует , для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), то есть такая вероятностная мера μ на X, что
Доказательство для динамических систем
Доказательство теоремы опирается на процедуру Крылова-Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.
А именно, берётся произвольная начальная мера , и рассматривается последовательность её временных средних:
Временные средние являются всё более и более -инвариантными:
Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения . Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности найдётся — что и завершает доказательство.
В случае, если в качестве меры берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности соответствует существованию меры Синая-Рюэлля-Боуэна.
Обобщения
Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.
Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.Ссылки
- ↑ Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1937): «Общая теория меры в нелинейной механике». — Киев.
- ↑ N. N. Bogoliubov and N. M. Krylov (1937). «La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire» (French). Ann. Math. II 38: 65—113. Zbl. 16.86.
- ↑ «Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. РАН. Том 1: Математика». — М.: Наука, 2005. ISBN 5-02-034463-X.
Категории:- Теоремы
- Динамические системы
- Случайные процессы
Wikimedia Foundation. 2010.