- СОБСТВЕННЫЙ МОРФИЗМ
- морфизм схем, отделимый, универсально замкнутый и имеющий конечный тип. Морфизм схем f :
наз. замкнутым, если для любого замкнутого множество f(Z) замкнуто в Y, и универсально замкнутым, если для любой замены базы
замкнут морфизм
Свойство быть С. м. сохраняется при композиции морфизмов, замене базы и для декартова произведения морфизмов. С. м. близки к проективным морфизмам: любой проективный морфизм собственный, собственный и квазипроективный морфизм проективен. Любой С. м. доминируется проективным (лемма Чжоу). См. также Полное алгебраическое многообразие, Проективная схема.
С. м. обладают рядом хороших когомологич. свойств. 1) Если морфизмсобственный и F- когерентный пучок О X -модулей, то для любого
пучки О Y -модулей
когерентны (теорема конечности). Аналогичный факт имеет место и для этальных когомологий. В частности, если X - полная схема над полем k, то пространства когомологий Н q( Х, F )конечномерны. 2) Для любой точки
пополнение OY, у -модулясовпадает с
где J - идеал подсхемы f-1 (у) в X(теорема о сравнении). 3) Если X - собственная схема над полным локальным кольцом А, то категории когерентных пучков на Xи на ее формальном пополненииэквивалентны (теорема алгебраизуeмости). Существуют аналитич. аналоги первого и третьего свойств.
Напр. (см. [3]): для полной-схемы Xлюбой аналитический когерентный пучок на
алгебраизуем и
4) Пусть
- С. м., F - пучок конечных абелевых групп в этальной топологии X,
- геометрич. точка схемы Y; тогда слой пучка
в точке
изоморфен
(теорема о замене базы, см. [2]).
Лит.:[1] Grothendieck A., Dieudonnc J., Elements de geometric algebrique, t. 2-3, P., 1961-63; [2] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 1-3, B.- [a. о.], 1972-73; [3] Revetements Stales et groupe fondamental, B. -la. o.], 1971; [4] Xартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, пер. с англ., М., 1981.
В. И. Данилов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.