ПЛОСКИЙ МОРФИЗМ


ПЛОСКИЙ МОРФИЗМ

- морфизм схем такой, что для любой точки локальное кольцо является плоским над (см. Плоский модуль). Вообще, пусть - пучок -модулей, он наз. плоским над Yв точке , если - плоский модуль над кольцом . При нек-рых (довольно слабых) условиях конечности множество точек, в к-рых когерентный -модуль является плоским, открыто в X. Если при этом схема Yцелостна, то существует открытое непустое подмножество такое, что - П. м. над Yво всех точках, лежащих над U.

П. м. конечного типа соответствуют интуитивному понятию непрерывного семейства многообразий. П. м. открыт и равноразмерен (т. е. размерность слоев f-1 (у) локально постоянна по ). Для многих гео-метрич. свойств множество точек , в к-рых слой f-1(f(x)).плоского морфизма обладает этим свойством, открыто в X. Если П. м. f собственный, то открытым является и множество точек , слои над к-рыми обладают этим свойством (см. [1]).

П. м. применяются также в теории спуска. Морфизм схем наз. строго плоским, если он плоский и сюръективный. Тогда, как правило, для проверки какого-либо свойства нек-рого объекта над Yдостаточно проверить это свойство для объекта, полученного после строго плоской замены базы (см. [1]). В связи с этим представляют интерес критерии плоскостности морфизма (или -модуля ); при этом Yможно считать локальной схемой. Простейший критерий относится к случаю, когда база Yодномерна и регулярна: когерентный -модуль будет плоским тогда и только тогда, когда униформизирующая на Yимеет тривиальный аннулятор в . Общий случай в нек-ром смысле сводится к одномерному. Пусть Y - приведенная нётерова схема и для любого морфизма , где Z - одномерная регулярная схема, замена базы является П. м.; тогда f есть П. м. Другой критерий плоскостности требует, чтобы был универсально открыт,

а Y и геометрич. слои - приведены.

Лит.:[1] Grothendieck A., Dieudonne .Т., Elements de geometric algebrique, 4, "Publ. math. IHES", 1964, № 24; 1966, № 28; [2] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [3] Rауnaud M., GrusonL., "Invent, math.", 1971, v. 13, p. 1-89.

В. И. Данилов


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПЛОСКИЙ МОРФИЗМ" в других словарях:

  • ГЛАДКИЙ МОРФИЗМ — схем обобщение на случай схем понятия семейства неособых алгебраических многообразий. В классич. случае морфизма комплексных алгебраич. многообразий это понятие сводится к понятию регулярного отображения (субмерсии) комплексных многообразий.… …   Математическая энциклопедия

  • ЭТАЛЬНЫЙ МОРФИЗМ — гладкий морфизм алгебраич. многообразий или схем относительной размерности 0. Эквивалентным образом можно определить Э. м. схем как локально конечно представленный плоский морфизм такой, что для любой точки k(y) cxeмa конечна и сепарабельна. Э. м …   Математическая энциклопедия

  • ЗАМЕНА БАЗЫ — теоретико категорная конструкция, частными случаями которой являются понятие индуцированного расслоения в топологии, а также понятие расширения кольца скаляров в теории модулей. Пусть С категория с расслоенными произведениями и g: морфизм этой… …   Математическая энциклопедия

  • ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… …   Математическая энциклопедия

  • БРАУЭРА - СЕВЕРИ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическое многообразие над полем k, которое, если его рассматривать над алгебраич. замыканием поля , изоморфно проективному пространству. Арифметич. свойства таких многообразий изучал Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл… …   Математическая энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ОСОБЕННОСТЬ — нормальная особая точка Р алгебраич. многообразия или комплексно аналитич. ространства X, допускающая разрешение особенности , при к ром прямые образы структурного пучка О Y тривиальны при . Тогда этим свойством будет обладать и любое разрешение… …   Математическая энциклопедия

  • СХЕМА — окольцованное пространство, локально изоморфное аффинной схеме. Подробнее, С. состоит из топологич. пространстна X (базисного пространства схемы) и пучка коммутативных колец с единицей на Х (структурного пучка схемы); при этом должно существовать …   Математическая энциклопедия

  • МОДУЛЕЙ ТЕОРИЯ — теория, изучающая непрерывные семейства объектов алгебраич. геометрии. Пусть А класс объектов алгебраич. геометрии (многообразий, схем, векторных расслоений и т. п.), на к ром задано нек рое отношение эквивалентности R. Основная задача… …   Математическая энциклопедия

  • КОНЕЧНАЯ ГРУППОВАЯ СХЕМА — групповая схема, конечная и плоская над базисной схемой. Если G К. г. с. над схемой то где конечный плоский квазикогерентный пучок алгебр над В дальнейшем предполагается, что Sлокально нётерова. В этом случае пучок является локально свободным.… …   Математическая энциклопедия

  • ДИВИЗОР — обобщение понятия делителя элемента коммутативного кольца. Впервые (под назв. идеальный делитель ) это понятие возникло в работах Э. Куммера [1] об арифметике круговых полей. Теория Д. для коммутативного кольца А с единицей без делителей нуля… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.