СИММЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР

СИММЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР

отображение Амножества DA гильбертова пространства Н(в общем случае комплексного) в себя такое, что <Ах, у>=<х, Ау).для любых . Если DA- линейное многообразие, всюду плотное в Н(что предполагается в дальнейшем), то Л - линейный оператор. Если DA=Н, то Аограничен и, следовательно, непрерывен на Н. С. о. А порождает на DA билинейную эрмитову форму В( х, у) =<Ах, у>, т. е. такую, что Соответствующая квадратичная форма < Ах, x> действительна. Обратно, действительная на Од форма < Ах, х> влечет симметричность А. Сумма А+В С. о. Аи В с, общей областью определения DA=DB есть снова С. о., и если l действительно, то lA также симметричен. Для всякого С. о. Асуществует однозначно определенное замыкание и сопряженный оператор . В общем случае А* не является С. о. и . Если А*=А, то С. о. наз. самосопряженным оператором. Таким будет, в частности, С. о., определенный на всем Н. С. о., ограниченный на DA, допускает продолжение на все Нс сохранением симметричности и ограниченности.

Примеры. 1) Пусть бесконечная матрица ||aij||, i, j=1, 2, . . ., такова, что , и


Тогда система равенств


ставящая в соответствие элементу элемент y={hi}, определяет ограниченный С. о., причем он оказывается самосопряженным в комплексном пространстве l2.

2) В комплексном пространстве L2(0, 1) оператор , определенный на множестве DA абсолютно непрерывных на [0, 1] функций, имеющих суммируемую с квадратом производную и удовлетворяющих условию х(0)=х(1)=0, есть С. о., не являющийся самосопряженным.

Лит.:[1] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954. В. И. Соболев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "СИММЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР" в других словарях:

  • симметрический оператор — simetrinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. symmetrical operator vok. symmetrischer Operator, m rus. симметрический оператор, m pranc. opérateur symétrique, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР — симметрический оператор, линейный оператор Ав гильбертовом пространстве . с плотной областью определения D(А)и такой, что <Ax, y>=<x, Ау> для любых Это условие эквивалентно тому, что: 1) 2) Ах=А*х для всех , где А* оператор, сопряженный с А …   Математическая энциклопедия

  • ЗАМКНУТЫЙ ОПЕРАТОР — оператор А: такой, что из и следует и Ах=у (здесь X, Y банаховы пространства над одним и тем же полем скаляров и область определения оператора А). Понятие 3. о. распространяется и на операторы, действующие в отделимых линейных топологич.… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР — симметрический оператор S в гильбертовом пространстве. Н, для к рого существует такое число с, что для всех векторов х, лежащих в области определение S. П. о. Sвсегда имеет полуограниченное самосопряженное расширение Ас той же нижней гранью… …   Математическая энциклопедия

  • ДИССИПАТИВНЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор Ас областью определения DA, плотной в гильбертовом пространстве Н, и такой, что Иногда это требование заменяется условием при т. е. диссипативность Ав этом смысле эквивалентна диссипативности оператора ( iA). Д. о. наз.… …   Математическая энциклопедия

  • СИММЕТРИЧНЫЙ ОПЕРАТОР — см. Симметрический оператор …   Математическая энциклопедия

  • Эрмитов оператор — В математике оператор в комплексном или действительном гильбертовом пространстве называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству для всех из области определения . Здесь и далее полагается, что   скалярное произведение …   Википедия

  • Теорема Хеллингера — Тёплица — Теорема Хеллингера  Тёплица  результат функционального анализа, устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве. Формулировка Пусть H  гильбертово пространство. Если для линейного оператора… …   Википедия

  • Теорема Хеллингера — Теорема Хеллингера  Тёплица  результат функционального анализа, устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве. Формулировка Пусть   гильбертово пространство. Если для линейного оператора… …   Википедия

  • Линейное отображение — У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения). Линейное отображение, линейный оператор  обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»