ДИССИПАТИВНЫЙ ОПЕРАТОР


ДИССИПАТИВНЫЙ ОПЕРАТОР

- линейный оператор Ас областью определения DA, плотной в гильбертовом пространстве Н, и такой, что

Иногда это требование заменяется условием при т. е. диссипативность Ав этом смысле эквивалентна диссипативности оператора (-iA).

Д. о. наз. максимальным, если он не имеет собственных диссипативных расширений. Д. о. всегда допускает замыкание, к-рое также будет Д. о., в частности максимальный Д. о.- замкнутый оператор. Всякий Д. о. допускает расширение до максимального. Для Д. о. все точки Xс Im l<0 есть точки регулярного типа, при этом

Д. о. является максимальным тогда и только тогда, когда при всех Xс Im l<0 имеет место (А-lI)DA=H. Эквивалентное условие максимальности Д. о. А- его замкнутость и выполнение условия

Если А 0- максимальный симметрический оператор, то либо А 0, либо (- А 0 )является максимальным Д. о. Для произвольного симметрич. оператора А 0 можно рассматривать диссипативные и, в частности, максимальные диссипативные расширения; задача их описания эквивалентна задаче описания всех максимальных диссипативных расширений консервативного оператора B0=iA0: Re( В 0 х, х) = 0,

Д. о. тесно связаны со сжатиями и с так наз. аккретивными. операторам и, т. е. такими операторами А, для к-рых iA есть Д. о. В частности, аккретивный оператор Амаксимален тогда и только тогда, когда (-А)является порождающим оператором (генератором) непрерывной однопараметрич. полугруппы сжатийв Н. С помощью преобразований Кэли

где А- максимальный аккретивный оператор, а Т- сжатие, не имеющее l=1 собственным значением, строится функциональное исчисление и, в частности, теория дробных степеней максимальных Д. о.

Для ограниченных линейных операторов Аопределение Д. о. эквивалентно требованию где - мнимая компонента оператора А. Для вполне непрерывного Д. о. в сепарабельном гильбертовом пространстве Нс ядерной мнимой компонентой AJ имеются многочисленные критерии (т. е. необходимые и достаточные условия) полноты системы их корневых векторов. Напр.,

где lj (А)- все собственные значения оператора А, j=1, ..., a SpAJ -след оператора AJ (критерий Лившица);

или

где - действительная компонента оператора А, а - количество характеристич. чисел оператора А R в отрезках [0, r] и [-r, 0] (критерий Крейна). Система {yj} собственных векторов, отвечающих различным собственным числам lj, j=1, 2, ... Д. о., образует базис своей замкнутой линейной оболочки, эквивалентный ортонормированному, если

Понятие Д. о. введено и для нелинейных и даже многозначных операторов А. Такой оператор в гильбертовом пространстве наз. Д. о., если для любых двух его значений выполнено неравенство

Это понятие лежит в основе теории однопараметрических нелинейных сжимающих полугрупп и связанных с ними дифференциальных уравнений. Другое обобщение понятия Д. о. относится к операторам, действующим в банаховых пространствах с так называемым полувнутренним произведением. Наконец, имеется обобщение, связанное с операторами, действующими в гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой.

Лит.:[1] Секефальви-Надь Б., Фояш Ч,, Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, пер. с франц., М., 1970; [2] Крейн С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., 1967; [3] Лившиц М. С, "Матем. сб.", 1954, т. 34, № 1, с. 145- 99; [4] Филлипс Р. С, "Математика", 1962, т. 6, № 4, с. 11 - 70; [5] Crandall M., Рагу A., "J. Funet. Analys.", 1969, v 3, p. 376-418; [6] Lumer G., Phillips R., "Pacific J Math.", 1961, v. 11, p. 679 - 98.

И. С. Иохвидов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДИССИПАТИВНЫЙ ОПЕРАТОР" в других словарях:

  • ПОЛУГРУППА НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ — однопараметрическое семейство операторов S(t),0 t< , определенных и действующих в замкнутом подмножестве Сбанахова пространства X, обладающее свойствами: 1) S(t+t)x= S(t)(S(t)x).при х С, t,t>0; 2) S(Q)x=x для любого х С; 3) при каждом х… …   Математическая энциклопедия

  • КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — в банаховом пространстве раздел функционального анализа, в к ром исследуется поведение на действительной оси J или на положительной (отрицательной) полуоси J+ (J ) решений эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Рассматриваются уравнения …   Математическая энциклопедия

  • РАСШИРЕНИЕ — о п е р а т о р а линейный оператор, график к рого содержит график данного линейного оператора. Тот факт, что оператор Весть Р. оператора А, записывается в виде АМ В. Обычные задачи теории Р.: максимально расширить оператор, сохраняя определенное …   Математическая энциклопедия

  • ПОНТРЯГИНА ПРОСТРАНСТВО — гильбертово пространство с индефинитной метрикой , имеющей конечный ранг индефинитности . Основные факты геометрии П. п. установлены Л. С. Понтрягиным [1]. Помимо фактов, общих для пространств с индефинитной метрикой, имеют место следующие. Если… …   Математическая энциклопедия

  • СЖАТИЕ — с ж и м а ю щ и й о п е р а т о р, ограниченное линейное отображение Тгильбертова пространства H в гильбертово пространство H с . При H=H сжатие Тназ. вполне неунитарным, если оно не является унитарным оператором ни при каком: отличном от {0}… …   Математическая энциклопедия

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов. Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.