РИТЦА МЕТОД

- метод решения задач вариационного исчисления и вообще бесконечномерных задач на экстремум, основанный на минимизации функционала на конечномерных подпространствах или многообразиях.

Пусть поставлена задача нахождения точки минимума ограниченного снизу функционала на сепарабельном банаховом пространстве U. Задается нек-рая (т. <н. координатная) система элементов , полная в U. По P.м. минимизирующий элемент в п- мприближении разыскивается в линейной оболочке первых пкоординатных элементов j₁, . . .,j_n, т. е. коэффициенты приближения

определяются из условия минимальности J ( и _п )среди элементов указанного вида. Вместо координатной системы можно задать последовательность подпространств

, не обязательно вложенных друг в друга. Пусть Н - гильбертово пространство со скалярным произведением , А - самосопряженный, положительно определенный, вообще говоря, неограниченный оператор в H, а Н _А - гильбертово пространство, получаемое пополнением области определения оператора Апо норме , порожденной скалярным произведением . Пусть нужно решить задачу

(1)

Она равносильна задаче отыскания точки минимума квадратичного функционала

к-рый можно записать в виде

где и ₀=А ^-1f- решение уравнения (1). Пусть , n=1, 2, . . .,- замкнутые (обычно конечномерные) подпространства такие, что при для каждого , где Р _п - ортопроектор в H_A, проектирующий на Н _п. Минимизируя Ф в Н _п, получают ритцовское приближение и _n=Р _п и₀ к решению уравнения (1); при этом

при . Если - базис Н _n, то коэффициенты элемента

(2)

определяются из линейной системы уравнений

(3)

К ритцовскому приближению можно прийти и минуя вариационную формулировку задачи (1). А именно, определив приближение (2) из условий

(м е т о д Г а л е р к и н а), приходят к той же системе уравнений (3). Поэтому Р. м. для уравнения (1) иногда наз. м е т о д о м Р и т ц а - Г а л е р к и н а.

Р. м. широко применяется и при решении задач на собственные значения, краевых задач и вообще операторных уравнений. Пусть Аи В - самосопряженные операторы в Н, причем А положительно определен, Вположителен, и оператор А ^-1 Ввполне непрерывен в пространстве Н _A. В силу наложенных условий А ^-1 В самосопряжен и положителен в H_A и спектр задачи (4) состоит из положительных собственных значений:

при
Р. м. основан на вариационной характеризации собственных значений. Напр ., и, проведя минимизацию лишь по подпространству , получают ритцовские приближения к l₁, и₁. Если , как и выше, базис Н _п, то ритцовские приближения к , определяются из уравнения

а вектор коэффициентов приближения

к определится как нетривиальное решение линейной однородной системы . Р. м. приближает собственные значения сверху, то есть , k=l, . . ., п. Если k-е собственное значение задачи (4) простое , то быстрота сходимости Р. м. характеризуется соотношениями

где при . Подобные соотношения распространяются и на случай кратного , но требуют нек-рых уточнений (см. [2]). В. Ритц [4] предложил свой метод в 1908, но ранее Рэлей (Rayleigh) применял этот метод при решении нек-рых задач на собственные значения. В связи с этим Р. м. часто наз. м е т о д о м Р э л е я - Р и т ц а, особенно, если речь идет о решении проблемы собственных значений.

Лит.:[1] В а й н б е р г М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М., 1972; [2] К р а с н о с е л ь с к и й М. А. [и др.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [3] М и х л и н С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М., 1970; [4] R i t z W., "J. reine und angew. Math.", 1908, Bd 135, S. 1-61. Г. М. Вайникко.