- ГАЛЕРКИНА МЕТОД
метод моментов,- метод нахождения приближенного решения операторного уравнения в виде линейной комбинации элементов заданной линейно независимой системы.
Пусть F(х) - нелинейный оператор, область определения к-рого лежит в банаховом пространстве X, а область значений - в банаховом пространстве Y. Для решения уравнения
методом Галеркина выбираются линейно независимая система элементов из X(координатная система)
и линейно независимая система функционалов
из пространства
, сопряженного к
(проекционная система). Приближенное решение хуравнения (1) разыскивается в виде
Числовые коэффициенты определяются из системы уравнений
В этой общей постановке задачи нельзя гарантировать, что система (3) имеет хотя бы одно решение. В случае если (3) имеет единственное решение при каждом
приближенное решение (2) может не сходиться при
даже слабо к точному решению уравнения (1). Тем не менее, Г. м. является мощным средством не только для нахождения приближенных решений, но и для доказательства теорем существования решений линейных и нелинейных уравнений, особенно в задачах для уравнений с частными производными.
В ряде случаев задача определения коэффициентов (2) из системы (3) эквивалентна задаче об отыскании минимума нек-рого функционала, и Г. м. превращается в вариационный (энергетический) метод. Наиболее важный из таких методов - Ритца метод. В нек-рых случаях эффективно применение для исследования системы (3) топологич. методов.
Если пространства Xи Yгильбертовы, то Г. м. иногда наз. методом Галерки на - Петрова. Если, кроме того, координатная и проекционная системы совпадают:
то принято говорить о методе Бубнова- Галеркина.
Если Х=Y=H - гильбертово пространство, а
то этот частный случай Г. м. наз. наименьших квадратов методом.
В линейном случае, когда
- линейный, вообще говоря, неограниченный оператор с областью определения
и с областью значений
, а координатная система выбрана в
, уравнение (1) принимает вид:
При этом система (3) представляет собой систему плинейных уравнений с пнеизвестными:
Если в условиях метода наименьших квадратов на
существует и ограничен обратный оператор
,
и система
полна в Н, то приближенное решение (2) при
сходится к точному решению уравнения (4). Если в условиях метода Галеркина - Петрова оператор Асимметричен, положительно определен,
и система
полна в гильбертовом пространстве
- пополнении D(А).в метрике, порожденной скалярным произведением
то приближенное решение (2) сходится к точному решению уравнения (4) как в
, так и в Н.
Если А- самосопряженный положительно определенный оператор в Н, а
- полная ортонормиро-ванная система его собственных элементов, то метод Бубнова - Галеркина и метод наименьших квадратов совпадают с Фурье методом.
Г. м. применяется также для приближенного решения задач на собственные значения и собственные элементы.
Г. м. получил широкое распространение после исследований Б. Г. Галеркина [1]; ранее он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым. Существует общий подход к приближенным методам, охватывающий обобщающие Г. м. проекционные методы, разностные методы и другие приближенные методы.
Лит.:[1] Галеркин Б. Г., "Вестник инженеров", 1915, т. 1, № 19, с. 897-908; [2] Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957; [3] Вайнберг М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М., 1972. В. А. Треногий.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.