- БИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
билинейная функция,- отображение f произведения
левого унитарного A-модуля Vи правого унитарного В- модуля 
-бимодуль Н, удовлетворяющее следующим условиям:
здесь
- произвольно выбранные элементы,
- кольца с единицей. Тензорное произведение 
над 
имеет естественную структуру 
-бимодуля. Пусть 
канонич. отображение, тогда любое Б. о. f индуцирует гомоморфизм 
- бимодулей 
для к-рого 
Если 
и коммутативно, то множество 
всех Б. о. 
является 
-модулем относительно обычным образом определяемых операций сложения и умножения на элементы из A, а соответствие 
'.устанавливает канонич. изоморфизм A-модуля 
и A-модуля 
всех A-линейных отображений 
в Н.
Пусть
- свободные модули с базисами 
и 
, соответственно. Б. о. f полностью определяется заданием 
, для всех 
поскольку для любых конечных подмножеств 
имеет место формула
И обратно, при произвольном выборе элементов
формула (*), где 
определяет Б. о. 
в Н. Если I и J конечны, матрица 
называется матрицей Б. о. f относительно данных базисов.
Пусть задано Б. о.
Элементы 
наз. ортогональными относительно f, если 
. Подмножества.
и 
наз. ортогональными относительно f, если всякий 
ортогонален всякому 
.
Если X - подмодуль в V, то - подмодуль в W, наз. ортогональным подмодулем, или ортогональным дополнением, к X. Аналогично определяется ортогональное дополнение 
к подмодулю Y в W. Отображение f наз. вырожденным справа (соответственно слева), если 
(соответственно 
). Подмодули 
и 
наз. соответственно левым и правым ядром Б. о. f. Если 
и 
, то f наз. невырожденным, ав противном случае - вырожденным. Отображение f наз. нулевым, если 
и 
.
Пусть
- семейство левых A-модулей,
- семейство правых B-модулей, 
- Б. о.
в Н, V - прямая сумма A-модулей 
, а 
- прямая сумма В-модулей Wi. Отображение 
, определяемое 
правилом является Б. о. и наз. прямой суммой отображений 
. Эта сумма ортогональна, т. е. подмодуль 
ортогонален подмодулю Wj относительно f при 
.
Б. о. f невырождено тогда и только тогда, когда
невырождено для всех 
; при этом
В случае А=В =Н Б. о. наз. билинейной формой.
Лит.:[1]Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. В. Л. Попов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
