ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

- раздел алгебры, в к-ром изучаются векторные (линейные) пространства, линейные операторы (линейные отображения), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах.

Исторически первым разделом Л. а. была теория линейных уравнений (алгебраических). В связи с решением систем линейных уравнений возникло понятие определителя. В 1750 было получено Крамера правило для решения системы линейных уравнений, в к-рой число уравнений равно числу неизвестных и определитель из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В 1849 был предложен Гаусса метод решения систем линейных уравнений с числовыми коэффициентами. Этот метод является простейшим по числу применяемых операций и используется с различными изменениями также для приближенного решения систем уравнений, коэффициенты к-рых также известны приближенно.

В связи с изучением систем линейных уравнений и их определителей появилось понятие матрицы. Понятие ранга матрицы, предложенное Г. Фробениусом (G. Frobenius) в 1877, позволило явно выразить условия совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах коэффициентов этой системы (см. Кронекера - Капелли теорема). Тем самым в конце 19 в. было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.

Если в 18 и 19 вв. основное содержание Л. а. составляли системы линейных уравнений и теория определителей, то в 20 в. центральное положение занимают понятие векторного пространства и связанные с ним понятия линейного преобразования, линейной, билинейной и полилинейной функции на векторном пространстве.

Векторным, или линейным, пространств о м над полем Кназ. множество Vэлементов (называемых векторами), в к-ром заданы операции сложения векторов и умножения вектора на элементы из поля К, удовлетворяющие ряду аксиом (см. Векторное пространство). Рассматриваются также векторные пространства над телами. Одним из важнейших понятий теории векторных пространств является понятие линейного отображения, т. е. гомоморфизма векторных пространств над одним н тем же полем. Линейным оператором, или линейным преобразованием, наз. линейное отображение пространства в себя (т. е. эндоморфизм векторного пространства). Если пространство Vконечномерно, то, выбирая в Vбазис e1, e2, . .., е п и полагая

получают квадратную матрицу порядка п, к-рая наз. матрицей линейного преобразования j в данном базисе.

Векторное пространство Vнад полем К, снабженное дополнительной операцией умножения векторов, удовлетворяющей нек-рым аксиомам, наз. алгеброй над К(см. Кольца и алгебры, Операторное кольцо).

Все линейные преобразования пространства Vотносительно естественно определенных операций сложения, умножения и умножения линейных преобразований на элементы поля Кобразуют алгебру над полем К. Все квадратные матрицы фиксированного порядка с элементами из поля Ктакже образуют алгебру над К. Указанное выше соответствие между линейными преобразованиями пространства Vи их матрицами в заданном базисе является изоморфизмом этих алгебр, что позволяет формулировать теоремы о линейных преобразованиях параллельно на матричном языке и при их доказательстве использовать теорию матриц.

Большое значение в теории линейных преобразований имеет выбор базиса, в к-ром матрица преобразования принимает в каком-то смысле простейший вид. В случае алгебраически замкнутого поля таким видом будет, напр., жорданова нормальная форма матрицы.

Важным случаем линейного отображения является линейная функция (линейный функционал) - линейное отображение Vв К. Все линейные функции на Vотносительно естественным образом определенных операций сложения и умножения на элементы из поля Ксами образуют векторное пространство V* над К, наз. пространством, сопряженным с пространством V. Векторы пространства Vможно в свою очередь рассматривать как линейные функции на сопряженном пространстве V*, полагая x(f) = f(x).для всех Если Т" конечномерно, то тем самым устанавливается естественный изоморфизм между Vи V**.

Обобщением понятия линейной функции является понятие полилинейной функции, т. е. функции со значениями в К, зависящей от нескольких аргументов (из к-рых одни принадлежат векторному пространству V, а другие - сопряженному пространству V*), линейной по каждому аргументу. Эти функции наз. также тензорами. Их изучением занимается полилинейная алгебра. Частный случай полилинейных функций - билинейные функции (см. Билинейное отображение). Кососимметрич. полилинейные функции наз. также внешними формами.

На основе понятия векторного пространства определяются различные классич. пространства, изучаемые в геометрии: аффинные пространства, проективные пространства и др.

Теория векторных пространств имеет важные связи с теорией групп. Все автоморфизмы n-мерного векторного пространства Vнад полем Кобразуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц порядка пс элементами из К. Гомоморфное отображение нек-рой группы Gв эту группу автоморфизмов наз. линейным представлением группы Gв пространстве V. Изучение свойств представлений составляет предмет теории линейных представлений групп.

Классич. теория линейных уравнений и определителей была обобщена на случай, когда вместо чисел или элементов поля рассматриваются элементы произвольного тела.

Естественным обобщением понятия векторного пространства над полем Кявляется понятие модуля над произвольным кольцом. Основные теоремы Л. а. перестают быть верными при замене векторного пространства на модуль. Изучение возможностей таких обобщений, к-рые справедливы и для модулей, привело к возникновению алгебраической К-теории.

Лит.:[1] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [2] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [3] Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; [4] М а л ь ц е в А. И., Основы линейной алгебры, 4 изд., М., 1975; [5] Ефимов Н. В., Розендорн 9. Р.,. Линейная алгебра и многомерная геометрия, 2 изд., М., 1974; [6] Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных пространств, 2 изд., М., 1956; [7] Г а н т м а х е р Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; [8] А р т и н Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [9] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [10] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955.

И. В. Проскуряков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА" в других словарях:

  • линейная алгебра — Математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств. Линейная зависимость [linear dependence] «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … +… …   Справочник технического переводчика

  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — важная в приложениях часть алгебры, содержащая, в частности, теорию линейных алгебраических уравнений, определителей, матриц …   Большой Энциклопедический словарь

  • линейная алгебра — сущ., кол во синонимов: 1 • линал (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • Линейная алгебра — [linear algebra] математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств …   Экономико-математический словарь

  • Линейная алгебра — Эта статья в данный момент активно редактируется участником Zanka. Пожалуйста, не вносите в неё никаких изменений до тех пор, пока не исчезнет это объявление. В противном случае могут возникнуть конфликты редактирования. Данное предупреждение… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — численные методы раздел вычислительной математики, посвященный математич. описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры. Среди задач Л. а. наибольшее значение имеют две: решение системы линейных алгебраич. уравнений… …   Математическая энциклопедия

  • линейная алгебра — важная в приложениях часть алгебры, содержащая, в частности, теорию линейных алгебраических уравнений, определений, матриц. * * * ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, важная в приложениях часть алгебры, содержащая, в частности, теорию линейных… …   Энциклопедический словарь

  • линейная алгебра — tiesinė algebra statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. linear algebra vok. lineare Algebra, f rus. линейная алгебра, f pranc. algèbre linéaire, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Линейная алгебра —         наиболее важная в приложениях часть алгебры (См. Алгебра). Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к Л. а., была теория линейных уравнений (См. Линейное уравнение). Развитие последней привело к созданию теории определителей… …   Большая советская энциклопедия

  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — частный случай операторного кольца …   Математическая энциклопедия

Книги

  • Линейная алгебра, Б. А. Горлач. Учебное пособие соответствует Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по программам математических дисциплин для студентов технических и… Подробнее  Купить за 971 руб
  • Линейная алгебра, И. А. Мальцев. Книга написана по материалам курса лекций по линейной алгебре и факультативных курсов, прочитанных автором на экономическом факультете Новосибирского госуниверситета, и ориентирована в первую… Подробнее  Купить за 579 руб
  • Линейная алгебра, Б. М. Рудык. В книге содержатся сведения по теории векторов, матриц и их определителей, систем линейных уравнений и неравенств. Рассматриваются также векторное пространство иего линейные преобразования,… Подробнее  Купить за 545 руб
Другие книги по запросу «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.