БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА

БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА

на произведении модулей - билинейное отображение -левый унитарный -модуль, W - правый унитарный А-модуль, А - кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А )-бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен метрич. структурой с помощью f. Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют смысл, в частности, для Б. ф. Так, говорят о матрице Б. ф. относительно выбранных базисов в Vи W, об ортогональности элементов и подмодулей относительно Б. ф.,. об ортогональных прямых суммах, невырожденности и т. д. Напр., если А - поле и - конечномерное векторное пространство над Ас базисом e1 ..., е п, то для векторов


и

значение формы


где . Иногда полином от переменных отождествляют с f и называют билинейной формой на V. Если кольцо Акоммутативно, то Б. ф. есть частный случай полуторалинейной формы, (с тождественным антиавтоморфизмом) .

Пусть кольцо Акоммутативно. Б. ф. f на А- модуле Vназ. симметрической (соответственно антисимметрической, или кососимметрической), если для всех будет (соответственно )и наз, знакопеременной, если . Знакопеременная Б. ф. антисимметрична, обратное верно только, если для любого из следует . Если имеет конечный базис, то симметрические (соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на и только они имеют в этом базисе симметрическую (соответственно антисимметрическую, знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относительно симметрич. или антисимметрич. формы на Vсимметрично .

Б. ф. на Vназ. изометричной Б. ф. на W, если существует такой изоморфизм А-модулей что для любых . Этот изоморфизм наз. изометрией форм, а если - метрическим автоморфизмом модуля V(или автоморфизмом формы f). Метрич. автоморфизмы модуля образуют группу (группу автоморфизмов формы f), примеры таких групп - ортогональная группа, симплектич. группа.

Пусть А - тело, - Б. ф. на , пространства конечномерны над А, тогда


и это число наз. рангом . Если Vконечномерно, а невырождена, то


и для каждого базиса в Vсуществует дуальный относительно fбазис в W, определяемый условиями ( - символы Кронекера). Пусть, кроме того, , тогда подмодули и наз. соответственно правым и левым ядрами f; для симметрич. и антисимметрия, форм правое и левое ядра совпадают и наз. просто ядром формы.

Пусть симметрич. или антпсимметрич. Б. ф. на V. Элемент , для к-рого , наз. изотропным; подмодуль наз. изотропным, если , и вполне изотропным, если . Вполне изотропные подмодули играют важную роль в изучении структуры Б. ф. (см. Витта разложение, Витта теорема, Витта кольцо). О строении Б. ф. см. также Квадратичная форма.

Пусть Акоммутативно и пусть есть A-модуль всех A-линейных отображений Vв W,a - A-модуль всех Б. ф. на . Для всякой Б. ф. f на и всякого формула


определяет A-линейную форму на W. Соответственно, для формула


определяет A-линейную форму на V. Отображение есть элемент из


Аналогично определяется отображение из


Отображения осуществляют изоморфизмы A-модулей


и


Б. ф. f наз. неособой слева (справа), если - изоморфизм; если f неособая и слева и справа, то она наз. неособой, в противном случае f наз. особой. Невырожденная Б. ф. может быть особой. Для свободных модулей одинаковой конечной размерности Б. ф. fна является неособой тогда и только тогда, когда определитель матрицы f относительно любых базисов в - обратимый элемент кольца A. Следующие изоморфизмы


и


задаваемые неособой Б. ф. f, определяются формулами


и


Эндоморфизмы наз. сопряженными относительно f, если

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. c англ., М., 1969. В. Л. Попов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА" в других словарях:

  • БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — форма 2 й степени, т. е. однородный многочлен 2 й степени от двух групп переменных и вида , где числа. Напр., axy при n=1, при n=2 и т. д …   Большой Энциклопедический словарь

  • Билинейная форма — Пусть есть векторное пространство над полем (чаще всего рассматриваются поля и ). Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов …   Википедия

  • билинейная форма — форма 2 й степени, то есть однородный многочлен 2 й степени от двух групп переменных x1, х2, ..., xn и y1, y2, ..., yn вида aikxiyk), где aik  числа. Например, axy при n = 1, a11x1y1 + a12x1y2 + a21х2y1 + a22x2y2 при n = 2 и т. д. * * * …   Энциклопедический словарь

  • Билинейная форма —         форма (т. е. однородный многочлен) 2 й степени от двух групп переменных x1, x2,..., xn и y1, y2,..., yn вида                  Например, аху (Б. ф. от переменных х и у); a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2 (Б. ф. от переменных x1, х2 и… …   Большая советская энциклопедия

  • БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — форма 2 й степени, т. е. однородный многочлен 2 й степени от двух групп переменных х1, х2, ..., хn и у2, y2, ..yn вида Е(сумма)i от 1 до n Е(сумма)k от1 до n(aikxiyk) , где aik числа, напр., аху при п= 1, a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2 При …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ЯДЕРНАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — билинейная форма В(f, g)на декартовом произведении локально выпуклых пространств Fи G, допускающая представление вида где суммируемая последовательность, {f i} и {g i} равностепенно непрерывные последовательности в сопряженных к Fи G… …   Математическая энциклопедия

  • КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — антисимметрическая билинейная форма, билинейная форма f на унитарном А модуле V(где А коммутативное кольцо с единицей), удовлетворяющая условию: Строение любой К. б. ф. f на конечномерном векторном пространстве Vнад полем характеристики полностью …   Математическая энциклопедия

  • ФОРМА (в математике) — ФОРМА, в математике многочлен от нескольких (m) переменных, все члены которых имеют одну и ту же степень (под степенью одночлена xayb понимают число n = a+b+...+g). В зависимости от числа m переменных различают бинарные формы (m = 2), тернарные… …   Энциклопедический словарь

  • ФОРМА — в математике многочлен от нескольких (m) переменных, все члены которых имеют одну и ту же степень (под степенью одночлена x?y? понимают число n = ?????????). В зависимости от числа m переменных различают бинарные формы (m =2), тернарные формы (m …   Большой Энциклопедический словарь

  • форма — ы; ж. [лат. fōrma вид, облик, наружность] 1. Внешние очертания, наружный вид предмета. Земля имеет форму шара. Квадратная ф. Предмет изогнутой формы. Облака меняют свои формы. Сосуды различных форм. Налитая в сосуд вода принимает форму сосуда.… …   Энциклопедический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»