- БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА
на произведении модулей
- билинейное отображение
-левый унитарный 
-модуль, W - правый унитарный А-модуль, А - кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А )-бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен метрич. структурой с помощью f. Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют смысл, в частности, для Б. ф. Так, говорят о матрице Б. ф. относительно выбранных базисов в Vи W, об ортогональности элементов и подмодулей относительно Б. ф.,. об ортогональных прямых суммах, невырожденности и т. д. Напр., если А - поле и 
- конечномерное векторное пространство над Ас базисом e1 ..., е п, то для векторов
и
значение формы
где
. Иногда полином 
от переменных 
отождествляют с f и называют билинейной формой на V. Если кольцо Акоммутативно, то Б. ф. есть частный случай полуторалинейной формы, (с тождественным антиавтоморфизмом) .
Пусть кольцо Акоммутативно. Б. ф. f на А- модуле Vназ. симметрической (соответственно антисимметрической, или кососимметрической), если для всех
будет 
(соответственно 
)и наз, знакопеременной, если 
. Знакопеременная Б. ф. антисимметрична, обратное верно только, если для любого 
из 
следует 
. Если 
имеет конечный базис, то симметрические (соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на 
и только они имеют в этом базисе симметрическую (соответственно антисимметрическую, знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относительно симметрич. или антисимметрич. формы на Vсимметрично .
Б. ф.
на Vназ. изометричной Б. ф. 
на W, если существует такой изоморфизм А-модулей 
что 
для любых 
. Этот изоморфизм наз. изометрией форм, а если 
- метрическим автоморфизмом модуля V(или автоморфизмом формы f). Метрич. автоморфизмы модуля образуют группу (группу автоморфизмов формы f), примеры таких групп - ортогональная группа, симплектич. группа.
Пусть А - тело,
- Б. ф. на 
, пространства 
конечномерны над А, тогда
и это число наз. рангом
. Если Vконечномерно, а 
невырождена, то
и для каждого базиса
в Vсуществует дуальный относительно fбазис 
в W, определяемый условиями 
(
- символы Кронекера). Пусть, кроме того,
, тогда подмодули 
и 
наз. соответственно правым и левым ядрами f; для симметрич. и антисимметрия, форм правое и левое ядра совпадают и наз. просто ядром формы.
Пусть
симметрич. или антпсимметрич. Б. ф. на V. Элемент 
, для к-рого 
, наз. изотропным; подмодуль 
наз. изотропным, если 
, и вполне изотропным, если 
. Вполне изотропные подмодули играют важную роль в изучении структуры Б. ф. (см. Витта разложение, Витта теорема, Витта кольцо). О строении Б. ф. см. также Квадратичная форма.
Пусть Акоммутативно и пусть
есть A-модуль всех A-линейных отображений Vв W,a 
- A-модуль всех Б. ф. на 
. Для всякой Б. ф. f на 
и всякого 
формула
определяет A-линейную форму на W. Соответственно, для
формула
определяет A-линейную форму на V. Отображение
есть элемент из
Аналогично определяется отображение
из
Отображения
осуществляют изоморфизмы A-модулей
и
Б. ф. f наз. неособой слева (справа), если
- изоморфизм; если f неособая и слева и справа, то она наз. неособой, в противном случае f наз. особой. Невырожденная Б. ф. может быть особой. Для свободных модулей 
одинаковой конечной размерности Б. ф. fна 
является неособой тогда и только тогда, когда определитель матрицы f относительно любых базисов в 
- обратимый элемент кольца A. Следующие изоморфизмы
и
задаваемые неособой Б. ф. f, определяются формулами
и
Эндоморфизмы
наз. сопряженными относительно f, если 
Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. c англ., М., 1969. В. Л. Попов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
