РИМАНА ГЕОМЕТРИЯ

э л л и п т и ч е с к а я г е о м е т р и я, - одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрич, теория, основанная на аксиомах, требования к-рых отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. В отличие от евклидовой геометрии в Р. г. осуществляется одно из двух возможных отрицаний аксиомы параллельности евклидовой геометрии: в плоскости через точку, не инцидентную данной прямой, не проходит ни одной прямой, не пересекающей данную; другое отрицание евклидовой аксиомы параллельности осуществляется в Лобачевского геометрии:в плоскости через данную точку, не инцидентную данной прямой, проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Система аксиом трехмерной Р. г. может быть построена по основе тех же понятий, что и Гильберта система аксиом евклидовой геометрии, где в качестве основных понятий полагаются "точка", "прямая", "плоскость". "Прямая" и "плоскость" понимаются как нек-рые классы "точек", а под "пространством" подразумевается совокупность всех объектов: "точек", "прямых" и "плоскостей".

Система аксиом состоит из четырех групп.

I группа - а к с и о м ы п р и н а д л е ж н о ст и - содержит все аксиомы, составляющие I группу гильбертовой системы аксиом, и, кроме того, дополняется еще одной аксиомой: каждым двум различным прямым в плоскости принадлежит одна и только одна общая им точка.

II группа - а к с и о м ы п о р я д к а, или расположения т о ч е к н а п р я м о й. Аксиомы этой группы описывают понятие "разделенность двух пар точек прямой", с помощью к-рого определяется порядок точек на прямой. II₁. Каковы бы ни были три различные точки А, В, С произвольной прямой, существует на этой прямой такая точка D, что пара А, В разделяет пару С, D (обозначается ). Если , то все четыре точки А, В, С, D различны. II₂. Если , то и . II₃. Каковы бы ни были четыре различные точки А , В, С, D прямой, из них могут быть всегда и единственным образом составлены две разделенные пары. II₄. Пусть точки А, В, С, D, E лежат на одной прямой, если и , то пара DE не разделяет пару АB.II₅. Если пары CD и СЕ не разделяют пару АВ, то и пара DE не разделяет пару АВ (см. II₄). II₆. Пусть четыре различные прямые нек-рого пучка пересекаются двумя различными прямыми соответственно в точках А, В, С, D и А ₁, B₁ C₁, D₁, тогда если , то и

III группа - а к с и о м ы к о н г р у э н т н о ст и - описывает отношение "конгруэнтность" отрезков, углов и т. д. Под отрезком подразумевается множество точек прямой, определенное парой различных точек А, В этой прямой следующим образом. Вследствие аксиом II группы на прямой существует такая пара точек М, N, что ; множество точек X, к-рые удовлетворяют соотношению , образуют класс внутренних точек отрезка, определяемого точками Аи В;. обозначается [ АВ]_M- Точки прямой, внешние относительно [ АВ]_M, образуют в з а и м н о д о п о л н и т е л ьн ы й о т р е з о к [AB]_N, точки А к В наз. концами отрезков [ АВ]_M и [ АВ]_N. В аксиомах, относящихся к понятию отрезка, под отрезком подразумевается всегда класс внутренних точек или всегда класс внешних точек. III₁. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе. III₂. Если первый отрезок конгруэнтен второму, то второй отрезок конгруэнтен первому. III₃. Если первый отрезок конгруэнтен второму, а второй конгруэнтен третьему, то и первый конгруэнтен третьему. III₄. Из конгруэнтности двух отрезков следует конгруэнтность их взаимно дополнительных отрезков III₅ . Каждый отрезок не конгруэнтен своей части. Полупрямыми наз. конгруэнтные взаимно дополнительные отрезки одной прямой. Концы таких отрезков наз. противоположными точками прямой. III₆. Для каждой точки прямой существует ей противоположная. III₇. Все полупрямые конгруэнтны между собой. III₈. Если отрезок [ АВ]конгруэнтен отрезку [A₁B₁] и точка С есть внутренняя точка первого отрезка, то внутри второго отрезка существует такая точка C₁, что отрезок [A₁C₁] конгруэнтен отрезку [ АС]и отрезок [С ₁B₁] конгруэнтен отрезку [ СВ], Пусть на сторонах угла, образованного двумя прямыми, отмечены противоположные точки относительно вершины угла, тогда отрезком, соотнесенным углу, наз. отрезок прямой, проходящий через эти две точки, к-рый расположен внутри данного угла. Два угла наз. к о н г р у э н т н ы м и, если конгруэнтны соотнесенные им отрезки. III₉. Если в двух треугольниках ABC и А ₁ В ₁ С ₁. сторона АВ конгруэнтна стороне A₁ В ₁, а сторона АС - стороне А ₁ С ₁, то угол Аконгруэнтен углу А ₁ тогда и только тогда, если конгруэнтны стороны ВС и В ₁ С ₁.

IV группа - а к с и о м а н е п р е р ы в н о с т и. Пусть внутренние точки отрезка [ АВ]_M разделены на два класса таких, что 1) каждая точка отрезка попадает в один из этих классов, 2) каждый класс не пуст, 3) если точка Xпринадлежит первому классу, а точка Y- второму, то X - всегда внутренняя точка отрезка [AY]_M. Тогда на отрезке [ АВ]_M существует такая точка С, что всякая внутренняя точка отрезка [AC]_M принадлежит первому классу, а всякая внутренняя точка отрезка [ СB]_M - второму.

Имеются и другие системы аксиом Р. г., в основе к-рых лежат иные основные понятия и отношения (см., напр., [3], [5]).

Метрич. свойства Р. г. "в малом" совпадают с метрич. свойствами нек-рой гиперсферы в соответствующем евклидовом пространстве. Напр., для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы в 3-мерном евклидовом пространстве, радиус rэтой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана - наз. радиусом кривизны этого пространства; метрич. свойства 3-мерного пространства Римана "в малом" совпадают с метрич. свойствами гиперсферы 4-мерного евклидова пространства и т. д. Число наз. к р и в и з н о й п р о с т р а н с тв а Р и м а н а.

Ниже приведены основные факты Р. г. прямой, плоскости и 3-мерного пространства.

П р я м а я Р и м а н а (э л л и п т и ч е с к а я п р я м а я) - замкнутая конечная линия Э ¹. Моделью прямой в евклидовой плоскости Е ^r может служить окружность радиуса r с отождествленными диаметрально противоположными точками. Две различные точки прямой делят ее на две части. Взаимное расположение точек на прямой определяется с помощью понятия "разделенности двух пар точек". Расстояние между двумя точками прямой определяется двузначно: меньшее из них не превышает pr/2, большее - превосходит pr/2. Длина всей прямой равна pr. Две точки, расстояние между к-рыми равно pr/2, наз. взаимно п о л я р н ы м и; каждой точке прямой соответствует единственная, полярная ей.

П л о с к о с т ь Р и м а н а (э л л и п т и ч е с к а я п л о с к о с т ь) - замкнутая конечная односторонняя поверхность Э ², гомеоморфная листу Мёбиуса, граница к-рого заклеена кругом. Моделью плоскости Р. г. с кривизной 1/r² в 3-мерном евклидовом пространстве может служить сфера радиуса r с отождествленными диаметрально противоположными точками. Прямая не разделяет плоскость на две области.

Всякие две прямые на плоскости обладают общим перпендикуляром; его длина равна ar, где a - угол между прямыми, r - радиус кривизны плоскости Римана. Две различные прямые делят плоскость на две области, к-рые наз. у г л а м и. Трехсторонник разделяет всю плоскость на 4 области, к-рые наз. т р е у г о л ьн ик а м и.

Метрич. соотношения в треугольнике на плоскости Э ². кривизны 1/r² выражаются соответствующими соотношениями сферич. тригонометрии на сфере радиуса rв евклидовом пространстве Е ³. Вообще, формулы тригонометрии в Э ³ Р. г. тождественны формулам сферической тригонометрии на сфере соответствующего радиуса в евклидовом пространстве, однако существуют определенные условия справедливости сферич. формул на плоскости Э ².

Множество точек плоскости, отстоящих от данной точки (п о л ю с а) на расстоянии pr/2, есть прямая - п о л я р а полюса. Любая прямая однозначно определяется своим полюсом и, обратно, определяет свой полюс. Полюсы прямых, проходящих через данную точку, располагаются на поляре этой точки, а поляры точек, лежащих на нек-рой прямой, пересекаются в полюсе этой прямой. В з а и м н о п о л я р н ы е т р еу г о л ь н и к и имеют вершинами полюсы соответствующих сторон. Для двух взаимно полярных треугольников имеет место т е о р е м а Ш а л я о пересечении в одной точке трех прямых, соединяющих соответствующие вершины этих треугольников. Если вершины треугольника являются полюсами его сторон, то его наз. а в т о п о л я р н ы м т р е у г о л ь н и к о м.

Сумма углов треугольника больше p; его площадь пропорциональна угловому избытку , где r - радиус кривизны плоскости Римана .

О к р у ж н о с т ь в Э ² - множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от нек-рой точки (ее ц е н т р а). Под радиусом окружности R можно понимать любой из взаимно дополнительных отрезков длины Rи pr-R, обычно выбирается радиус, не больший pr/2. Окружность является эквидистантой нек-рой прямой (б а з ы о к р у ж н о с т и). При R =pr/2 окружность является прямой - п о л я р о й центра. Длина окружности радиуса Rравна , а площадь круга равна

Существуют четыре и только четыре окружности, проходящие через три данные точки, не лежащие на одной прямой. Две различные окружности могут пересекаться не более, чем в четырех различных точках. Площадь всей плоскости Э ² радиуса кривизны r равна 2pr².

В Р. г. плоскости имеет место п р и н ц и п д в о йс т в е н н о с т и: во всяком верном утверждении можно взаимно заменить термины "точка" и "прямая", в результате получается верное утверждение.

П р о с т р а н с т в о Р и м а н а т р е х м е р н о е (эллиптическое пространство) - замкнутое конечное двустороннее (ориентируемое) пространство Э ³. Моделью пространства Э ³ в евклидовом пространстве Е ⁴ может служить гиперсфера радиуса rс отождествленными диаметрально противоположными точками. Пространство Римана с радиусом кривизны r имеет объем p²r³.

Плоскость не разделяет пространство на две области. Две различные плоскости в Э ³ пересекаются по прямой. Прямая, не лежащая в плоскости, пересекает ее в одной точке.

Множество точек пространства, отстоящих от данной точки (п о л ю с а) на расстоянии pr/2, есть плоскость - п о л я р а полюса. Любая плоскость определяется однозначно своим полюсам и обратно, определяет свой полюс. Если три плоскости проходят через одну прямую, то их полюсы лежат на одной прямой и обратно, если полюсы трех плоскостей лежат на одной прямой, то эти плоскости пересекаются по одной прямой. Для каждой прямой существует такая скрещивающаяся с ней прямая, что полюсы плоскостей, проходящих через одну прямую, лежат на другой, а полярные плоскости точек, лежащих на одной прямой, проходят через другую. Такие скрещивающиеся прямые наз. в з а и м н о п о л я р н ы м и (взаимные поляры). Две скрещивающиеся прямые наз. к о с ы м и, если они не являются взаимными полярами или если каждая из них не пересекает поляру другой. Две косые прямые имеют два общих перпендикуляра, являющихся взаимными полярами. Если два общих перпендикуляра косых прямых неравновелики (имеют разные длины), то эти косые прямые наз. р а с х о д я щ и м и с я, а длины общих перпендикуляров дают наименьшее и наибольшее расстояния одной прямой от другой. Две косые прямые, имеющие бесконечное множество общих перпендикуляров одинаковой длины, наз. п а р а л л е л я м и К л и ф ф о р д а (равноотстоящими, паратактичными прямыми). Через каждую точку пространства, лежащую вне данной прямой и вне полярной ей прямой, проходят две параллели Клиффорда к данной прямой. Множество точек, отстоящих от данной прямой на одном и том же расстоянии, меньшем pr/2, наз. п о в е р х н о с т ь ю К л и ф ф о р д а. Данная прямая наз. осью, а расстояние r точек от оси - радиусом поверхности Клиффорда. Эта поверхность имеет две взаимно полярные оси и соответственно два радиуса, дополняющих друг друга до полупрямой. Плоскости, проходящие через ось поверхности Клиффорда, пересекают ее по окружности. Через каждую точку поверхности Клиффорда проходят две прямые, равноотстоящие от ее осей и целиком принадлежащие поверхности; эти прямые наз. п р я м о л и н е й н ы м и о б р а з у ю щ и м и п о в е р х н о с т и К л и фф о р д а. Всякие три прямые, равноотстоящие друг от друга, определяют поверхность Клиффорда, для к-рой они являются образующими. Каждая пара прямолинейных образующих различных семейств пересекается под постоянным углом. Поверхность Клиффорда изометрична евклидову ромбу с острым углом, равным углу между образующими различных семейств, и стороной длины pr, у к-рого отождествлены точки противоположных сторон, соединяемых прямыми, параллельными другим сторонам. Иными словами, поверхность Клиффорда несет на себе евклидову геометрию. Площадь поверхности Клиффорда радиуса r равна

С ф е р а в Э ³ - множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от нек-рой точки (ее ц е н т р а). Сфера является эквидистантой нек-рой плоскости (базы сферы). Площадь сферы радиуса R равна

В Р. г. пространства имеет место п р и н ц и п д в о й с т в е н н о с т и: во всяком верном утверждении можно взаимно заменить термины "точка" и "плоскость", в результате получается также верное утверждение.

По-видимому, первое сообщение о Р. г. сделано Б. Риманом (В. Riemann) в его лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии" (1854, опубл. 1867, с. <м. [1]), где Р. г. рассматривалась как риманова геометрия постоянной положительной гауссовой кривизны.

Лит.:[1] Р и м а н Б., в кн.: Об основаниях геометрии, М., 1956, с. 309-25; [2] Е ф и м о в Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [3] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; [4] К а г а н В. Ф., Основания геометрии, ч. 2, М., 1956; [5] Б о г о м о л о в С. А., Введение в неевклидову геометрию Римана, Л.- М., 1934. Л. А. Сидоров.